Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\sum a^2 \geqslant \sum a^2b^2$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 1: Cho $a,b,c \geqslant 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh:

(a) $$ a^2+b^2+c^2 \geqslant a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 $$

(b) $$ a+b+c+\dfrac{1}{4} \text{min{$(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2$}} \leqslant 3 $$

 

Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số thực sao cho $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN của:

$$ f(a;b;c)=a^3+b^3+c^3-3abc $$

 

Bài 3: Giả sử $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=2$. Chứng minh:

$$ (x^2-xy+y^2)(y^2-yz+z^2)(z^2-zx+x^2) \leqslant 1 $$

 

Bài 4: $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh:

$$ \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \geqslant \dfrac{5}{2} $$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#2
Huy Thong

Huy Thong

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Bài 1: Cho $a,b,c \geqslant 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh:

(a) $$ a^2+b^2+c^2 \geqslant a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 $$

Trường hợp 1: Trong 3 số $a,b,c$ tồn tại ít nhất một số bằng $0.$ Giả sử $a=0.$

Khi đó $b^2+c^2=4$

Ta cần chứng minh $b^2c^2\leq 4$

Thật vậy, ta có $b^2c^2\leq \dfrac{1}{4}(b^2+c^2)^2=4$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=0, b=c=\sqrt{2}$

 

Trường hợp 2: $a,b,c>0$

Ta có thể đặt $$a=\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}},\ b=\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}},\ c=\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}\ \ (x,y,z>0)$$

Ta cần chứng minh

$$\sum \dfrac{xy}{(y+z)(x+z)}\geq \sum \dfrac{4xy^2z}{(x+y)(y+z)(z+x)^2}$$

$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{x+y}{z} \geq \sum \dfrac{4y}{x+z}$$

Áp dụng BĐT C-S, ta có $$\sum \dfrac{4y}{x+z}\leq \sum \left ( \dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z} \right )=\sum \dfrac{x+y}{z}$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z \Leftrightarrow a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huy Thong: 21-09-2014 - 17:28


#3
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Ta có thể đặt $$a=\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}},\ b=\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}},\ c=\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}$$

$(x,y,z\geq 0,\ (x+y)(y+z)(z+x)\neq 0)$

Ta cần chứng minh

$$\sum \dfrac{xy}{(y+z)(x+z)}\geq \sum \dfrac{4xy^2z}{(x+y)(y+z)(z+x)^2}$$

$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{x+y}{z} \geq \sum \dfrac{4y}{x+z}$$

Áp dụng BĐT C-S, ta có $$\sum \dfrac{4y}{x+z}\leq \sum \left ( \dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z} \right )=\sum \dfrac{x+y}{z}$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

 

Anh ơi, em vẫn còn thấy 1 điểm rơi nữa là $a=b=\sqrt{2}, c=0$ nên cách đặt của anh không thỏa mãn điểm rơi này cho lắm :D


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4
Huy Thong

Huy Thong

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Anh ơi, em vẫn còn thấy 1 điểm rơi nữa là $a=b=\sqrt{2}, c=0$ nên cách đặt của anh không thỏa mãn điểm rơi này cho lắm :D

Cảm ơn bạn nha :)) Mình sửa r.



#5
chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết

Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số thực sao cho $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN của:

$$ f(a;b;c)=a^3+b^3+c^3-3abc $$

 

Bài 3: Giả sử $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=2$. Chứng minh:

$$ (x^2-xy+y^2)(y^2-yz+z^2)(z^2-zx+x^2) \leqslant 1 $$

 

Bài 4: $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh:

$$ \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \geqslant \dfrac{5}{2} $$

$2$

$(a^3+b^3+c^3-3abc)^2=(\sum a)^2(\sum a^2-\sum bc)^2\leq \frac{[(\sum a)^2+2(\sum a^2-\sum bc)]^3}{27}=1$

$3$

giả sử $x\geq y\geq z\geq 0\Rightarrow (y^2-yz+z^2)(z^2-zx+x^2)\leq y^2x^2$

do đó $VT\leq x^2y^2(x^2-xy+y^2)=\frac{4}{9}.\frac{3xy}{2}.\frac{3xy}{2}(x^2-xy+y^2)\leq \frac{4}{9}[\frac{1}{3}(x+y)^2]^3\leq \frac{4}{9}[\frac{1}{3}(x+y+z)^2]^3=\frac{256}{243}$

dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{4}{3};y=\frac{2}{3};z=0$ và các hoán vị

$4$

bđt cần chứng minh tương đương $2p^2-5p+2+5r\geq 0$

$\blacksquare$ với $p\geq 2\Rightarrow 2p^2-5p+2+5r=(p-2)(2p-1)+5r\geq 0$

$\blacksquare$ với $p\leq 2$

ta có $p^3+9r\geq 4pq\Leftrightarrow r\geq \frac{p(4-p^2)}{9}$

do đó $2p^2-5p+2+5r\geq 2p^2-5p+2+\frac{20p-5p^3}{9}=\frac{-5}{9}p^3+2p^2-\frac{25}{9}p+2$

ta chứng minh $\frac{-5}{9}p^3+2p^2-\frac{25}{9}p+2\geq 0\Leftrightarrow (p-2)(5p^2-8p+9)\leq 0$

do đó có đpcm

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 21-09-2014 - 17:54

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#6
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 1:

 

Giả sử $a=\text{min{a;b;c}}$

 

Tồn tại $t \geqslant 0$ thỏa $a^2+2t^2+at^2=4 \Leftrightarrow a=2-t^2 \geqslant 0 \Leftrightarrow t^2 \leqslant 2$

 

Dùng phản chứng để chứng minh $b^2+c^2 \geqslant 2t^2$ và $bc \leqslant t^2$

 

Đặt $f(a;b;c)=a^2+b^2+c^2-a^2(b^2+c^2)-b^2c^2$

 

$f(a;t;t)=a^2+2t^2-2a^2t^2-t^4$

 

$f(a;b;c)-f(a;t;t)=(b^2+c^2-2t^2)(1-a^2)-(b^2c^2-t^4)\geqslant 0$

 

Cuối cùng ta có $f(a;t;t)=2(2-t^2)(t-1)^2(t+1)^2 \geqslant 0$

 

BDT được chứng minh.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh