Cho tam giác $ABC$ có các cạnh là $a,b,c$ và bộ $3$ số $m,n,p$ thỏa mãn
$\left\{\begin{matrix}m+n\geq 0 & & \\n+p\geq 0 & & \\ p+m\geq 0 & & \\ mn+np+pm\geq 0 & &\end{matrix}\right.$
Cmr:
$ma^2+nb^2+pc^2\geq 4\sqrt{mn+np+pm}.S_{ABC}$
#1
Đã gửi 21-09-2014 - 15:29
19kvh97
-
- Thành viên
-
- 423 Bài viết
Sĩ quan
#2
Đã gửi 21-09-2014 - 20:34
Johan Liebert
-
- Thành viên
-
- 75 Bài viết
Hạ sĩ
Ta có:
$ma^2+nb^2+pc^2=m(b^2+c^2-2bc.cosA)+nb^2+pc^2=(m+n)b^2+(m+p)c^2-2mbc.cosA$
$4S_{ABC}\sqrt{mn+np+mp}=2bc.sinA\sqrt{mn+np+mp}$
$4S_{ABC}\sqrt{mn+np+mp} \leq ma^2+nb^2+pc^2$
$\leftrightarrow 2bc.sinA\sqrt{mn+np+mp}+2mbc.cosA \leq (m+n)b^2+(m+p)c^2$
Đến đây vế phải áp dụng bất đẳng thức Cô-si còn vế trái dùng Bunhiacopxki là ra
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 21-09-2014 - 20:36
- 19kvh97 và chardhdmovies thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt, hhp
Solved
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
