Chủ đề này có 11 trả lời

[chardhdmovies]

mọi người cho em hỏi từ giả thiết $a^2+b^2+c^2+abc=4$ với $a,b,c>0$ sao lại có thể đặt 

$a=\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}},b=\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}},c=\frac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}$

hoặc $a=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}},b=\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}},c=\frac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}$

ví dụ như từ giả thiết $ab+bc+ca+abc=4$ thì có thể đặt $x=\frac{2a}{b+c};y=\frac{2b}{c+a};z=\frac{2c}{a+b}$ thì cái đó em hiểu là từ $ab+bc+ca+abc=4$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$ và từ đó thì đơn giản

hay từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta có thể đặt $a=\frac{x}{y+z},b=\frac{y}{z+x},c=\frac{z}{x+y}$ do từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$ và từ đó đơn giản

nhưng từ cái $a^2+b^2+c^2+abc=4$ đặt được như trên thì em không hiểu lí do

mong một lời giải thích

 

NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 21-09-2014 - 18:54

[Forgive Yourself]

mọi người cho em hỏi từ giả thiết $a^2+b^2+c^2+abc=4$ với $a,b,c>0$ sao lại có thể đặt 

$a=\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}},b=\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}},c=\frac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}$

hoặc $a=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}},b=\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}},c=\frac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}$

ví dụ như từ giả thiết $ab+bc+ca+abc=4$ thì có thể đặt $x=\frac{2a}{b+c};y=\frac{2b}{c+a};z=\frac{2c}{a+b}$ thì cái đó em hiểu là từ $ab+bc+ca+abc=4$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$ và từ đó thì đơn giản

hay từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta có thể đặt $a=\frac{x}{y+z},b=\frac{y}{z+x},c=\frac{z}{x+y}$ do từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$ và từ đó đơn giản

nhưng từ cái $a^2+b^2+c^2+abc=4$ đặt được như trên thì em không hiểu lí do

mong một lời giải thích

 

NTP

 

Quan trọng là ở từng bài toán, có thể từ giả thiết đó nhưng có nhiều cách đổi biến khác nhau tùy vào từng bài toán!

[Near Ryuzaki]

mọi người cho em hỏi từ giả thiết $a^2+b^2+c^2+abc=4$ với $a,b,c>0$ sao lại có thể đặt 

$a=\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}},b=\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}},c=\frac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}$

hoặc $a=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}},b=\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}},c=\frac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}$

ví dụ như từ giả thiết $ab+bc+ca+abc=4$ thì có thể đặt $x=\frac{2a}{b+c};y=\frac{2b}{c+a};z=\frac{2c}{a+b}$ thì cái đó em hiểu là từ $ab+bc+ca+abc=4$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$ và từ đó thì đơn giản

hay từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta có thể đặt $a=\frac{x}{y+z},b=\frac{y}{z+x},c=\frac{z}{x+y}$ do từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$ và từ đó đơn giản

nhưng từ cái $a^2+b^2+c^2+abc=4$ đặt được như trên thì em không hiểu lí do

mong một lời giải thích

 

NTP

Câu hỏi của bạn chardhdmovies rất hay. Để trả lời câu hỏi của bạn mình xin đưa ra một ví dụ như sau

Ví dụ khi ta có $xyz=x+y+z+2$ thì ta có thể đặt $x=\frac{b+c}{a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c}$

Vì khi $xyz=x+y+z+2$ thì ta sẽ có : $$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=1(*)$$

Từ đó tồn tại $a,b,c$ sao cho $\frac{1}{1+x}=\frac{a}{a+b+c},\frac{1}{1+y}=\frac{b}{a+b+c},\frac{1}{1+z}=\frac{c}{a+b+c}$

Từ đó suy ra $x=\frac{b}{c+a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c}$

Spoiler

Chỗ (*) bạn quy đồng và khai triển ra sẽ có $xyz=x+y+z+2$, mấy cái kia cũng tương tự như vậy. Ý bạn là vậy hả ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 21-09-2014 - 19:38

[Huy Thong]

mọi người cho em hỏi từ giả thiết $a^2+b^2+c^2+abc=4$ với $a,b,c>0$ sao lại có thể đặt 

$a=\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}},b=\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}},c=\frac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}$

hoặc $a=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}},b=\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}},c=\frac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}$

ví dụ như từ giả thiết $ab+bc+ca+abc=4$ thì có thể đặt $x=\frac{2a}{b+c};y=\frac{2b}{c+a};z=\frac{2c}{a+b}$ thì cái đó em hiểu là từ $ab+bc+ca+abc=4$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$ và từ đó thì đơn giản

hay từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta có thể đặt $a=\frac{x}{y+z},b=\frac{y}{z+x},c=\frac{z}{x+y}$ do từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$ và từ đó đơn giản

nhưng từ cái $a^2+b^2+c^2+abc=4$ đặt được như trên thì em không hiểu lí do

mong một lời giải thích

NTP

Đặt $m=\dfrac{2a}{bc}, n=\dfrac{2b}{ca}, p=\dfrac{2c}{ab}$ $(m,n,p>0)$

 

Khi đó $a=\dfrac{2}{\sqrt{np}}, b=\dfrac{2}{\sqrt{pm}}, c=\dfrac{2}{\sqrt{mn}}$

 

Từ $a^2+b^2+c^2+abc=4$ ta được $\dfrac{4}{np}+\dfrac{4}{pm}+\dfrac{4}{mn}+\dfrac{8}{mnp}=4 \Leftrightarrow m+n+p+2=mnp$

 

Dễ thấy tồn tại $x,y,z>0$ sao cho $m=\dfrac{x+y}{z}, n=\dfrac{y+z}{x}, p=\dfrac{z+x}{y}$ 

 

Hay $a=\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}},b=\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}},c=\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}$

 

Tiếp tục, nếu đặt $d=\sqrt{\dfrac{yz}{x}}, e=\sqrt{\dfrac{zx}{y}}, f=\sqrt{\dfrac{xy}{z}}$ thì $x=ef, y=fd, z=de$

 

Từ đó được $a=\frac{2d}{\sqrt{(d+e)(d+f)}},b=\frac{2e}{\sqrt{(e+f)(e+d)}},c=\frac{2f}{\sqrt{(f+d)(f+e)}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huy Thong: 21-09-2014 - 21:01

[phan huong]

Đặt $m=\dfrac{2a}{bc}, n=\dfrac{2b}{ca}, p=\dfrac{2c}{ab}$ $(m,n,p>0)$

 

Khi đó $a=\dfrac{2}{\sqrt{np}}, b=\dfrac{2}{\sqrt{pm}}, c=\dfrac{2}{\sqrt{mn}}$

 

Từ $a^2+b^2+c^2+abc=4$ ta được $\dfrac{4}{np}+\dfrac{4}{pm}+\dfrac{4}{mn}+\dfrac{8}{mnp}=4 \Leftrightarrow m+n+p+2=mnp$

 

Dễ thấy tồn tại $x,y,z>0$ sao cho $m=\dfrac{x+y}{z}, n=\dfrac{y+z}{x}, p=\dfrac{z+x}{y}$ 

 

Hay $a=\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}},b=\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}},c=\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}$

 

Tiếp tục, nếu đặt $d=\sqrt{\dfrac{yz}{x}}, e=\sqrt{\dfrac{zx}{y}}, f=\sqrt{\dfrac{xy}{z}}$ thì $x=ef, y=fd, z=de$

 

Từ đó được $a=\frac{2d}{\sqrt{(d+e)(d+f)}},b=\frac{2e}{\sqrt{(e+f)(e+d)}},c=\frac{2f}{\sqrt{(f+d)(f+e)}}$

Dễ thấy tồn tại x,y,z>0 sao cho $m =\frac{x + y}{z},n=\frac{y+z}{x}, p=\frac{x+z}{y}$ Cái này em không hiểu cho lắm .Để chứng minh nó thì nhân hết ra ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phan huong: 21-09-2014 - 21:10

[chardhdmovies]

Dễ thấy tồn tại x,y,z>0 sao cho $m =\frac{x + y}{z},n=\frac{y+z}{x}, p=\frac{x+z}{y}$ Cái này em không hiểu cho lắm .Để chứng minh nó thì nhân hết ra ạ

từ $m+n+p+2=mnp$ thì được $\frac{1}{m+1}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{p+1}=1$ do đó tồn tại $\frac{1}{m+1}=\frac{x}{x+y+z},\frac{1}{n+1}=\frac{y}{x+y+z},\frac{1}{p+1}=\frac{z}{x+y+z}\Rightarrow m=\frac{y+z}{x},...$

 

NTP

[hoctrocuaZel]

Cái này anh có thể phân phối, rồi qui đồng lại cũng dễ hiểu mà

Ví dụ đề thi HSG Thái Bình: 

Cho a,b,c dương: $\sum \frac{1}{1+a}=2.CMR: \sum \frac{1}{a}\geq 4(a+b+c)$

Cách giải: Từ gt, suy ra: $\frac{1}{1+a}=\frac{y+z}{x+y+z};....$

Tương tự, vì cộng lại đúng với cái gt mà

[chardhdmovies]

Cái này anh có thể phân phối, rồi qui đồng lại cũng dễ hiểu mà

Ví dụ đề thi HSG Thái Bình: 

Cho a,b,c dương: $\sum \frac{1}{1+a}=2.CMR: \sum \frac{1}{a}\geq 4(a+b+c)$

Cách giải: Từ gt, suy ra: $\frac{1}{1+a}=\frac{y+z}{x+y+z};....$

Tương tự, vì cộng lại đúng với cái gt mà

ý anh là sao có thể đặt được thôi

chứ nhân vào thì dễ rồi

 

NTP

[phan huong]

Nhân tiện mọi người cho em hỏi bài này:Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$  chứng minh

$3(a+b+c)\geq \sqrt{7a^{2}+2}+\sqrt{7b^{2}+2}+\sqrt{7c^{2}+2}$

[chardhdmovies]

Nhân tiện mọi người cho em hỏi bài này:Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$  chứng minh

$3(a+b+c)\geq \sqrt{7a^{2}+2}+\sqrt{7b^{2}+2}+\sqrt{7c^{2}+2}$

$\sum \sqrt{7a^2+2}=\sum \sqrt{a(7a+\frac{2}{a})}\leq \sqrt{(\sum a)(7\sum a+2\sum \frac{1}{a})}=3(a+b+c)$

 

NTP

[phan huong]

$\sum \sqrt{7a^2+2}=\sum \sqrt{a(7a+\frac{2}{a})}\leq \sqrt{(\sum a)(7\sum a+2\sum \frac{1}{a})}=3(a+b+c)$

 

NTP

thật sự .mình không hiểu cho lắm.Bạn nói rõ hơn 1 chút được không.ở lớp có 1 bạn bảo mình áp dụng BĐT Trư-bê-sep nhưng mình lại không biết đó là BĐT gì.Nếu bạn biết thì bảo mình với

[chardhdmovies]

thật sự .mình không hiểu cho lắm.Bạn nói rõ hơn 1 chút được không.ở lớp có 1 bạn bảo mình áp dụng BĐT Trư-bê-sep nhưng mình lại không biết đó là BĐT gì.Nếu bạn biết thì bảo mình với

cái bài trên mình sử dụng $bunhia$ thôi dạng $ax+by+cz\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}$

còn dùng $chebushep$ thì

bđt $chebushep$ là cho hai dãy số $a_1,a_2,..,a_n$ và $b_1,b_2,...,b_n$ với hay dãy trên cùng tăng hay giảm thì $n(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)\geq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)$

nếu hay dãy tăng,giảm ngược chiều thì $n(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)\leq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)$

từ giả thiết ta có $\sum (\frac{a^2-1}{a})=0$

bđt cần chứng minh tương đương $\sum \frac{a^2-1}{2a+\sqrt{a^2+3}}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq 0$

không mất tính tổng quát giả sử $a\leq b\leq c\leq d$ thì ta có hai dãy tăng

$\left\{\begin{matrix} \frac{a^2-1}{a}\leq \frac{b^2-1}{b}\leq \frac{c^2-1}{c}\leq \frac{d^2-1}{d}\\\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}} \leq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}}\leq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}}\leq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{d^2}}} \end{matrix}\right.$

do đó áp dụng bđt $chebushep$ thì $4\sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \sum (\frac{a^2-1}{a}).\sum \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}=0$

do đó bđt được chứng minh

cách giải bằng $chebushep$ trên là mình lấy từ cuốn tài liệu chuyên toán

 

NTP