Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

lí do có thể đặt từ $a^2+b^2+c^2+abc=4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 21-09-2014 - 18:42

mọi người cho em hỏi từ giả thiết $a^2+b^2+c^2+abc=4$ với $a,b,c>0$ sao lại có thể đặt 

$a=\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}},b=\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}},c=\frac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}$

hoặc $a=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}},b=\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}},c=\frac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}$

ví dụ như từ giả thiết $ab+bc+ca+abc=4$ thì có thể đặt $x=\frac{2a}{b+c};y=\frac{2b}{c+a};z=\frac{2c}{a+b}$ thì cái đó em hiểu là từ $ab+bc+ca+abc=4$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$ và từ đó thì đơn giản

hay từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta có thể đặt $a=\frac{x}{y+z},b=\frac{y}{z+x},c=\frac{z}{x+y}$ do từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$ và từ đó đơn giản

nhưng từ cái $a^2+b^2+c^2+abc=4$ đặt được như trên thì em không hiểu lí do

mong một lời giải thích

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 21-09-2014 - 18:54

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#2 Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K13 - THPT Mai Thúc Loan - Lộc Hà - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán!

Đã gửi 21-09-2014 - 19:09

mọi người cho em hỏi từ giả thiết $a^2+b^2+c^2+abc=4$ với $a,b,c>0$ sao lại có thể đặt 

$a=\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}},b=\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}},c=\frac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}$

hoặc $a=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}},b=\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}},c=\frac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}$

ví dụ như từ giả thiết $ab+bc+ca+abc=4$ thì có thể đặt $x=\frac{2a}{b+c};y=\frac{2b}{c+a};z=\frac{2c}{a+b}$ thì cái đó em hiểu là từ $ab+bc+ca+abc=4$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$ và từ đó thì đơn giản

hay từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta có thể đặt $a=\frac{x}{y+z},b=\frac{y}{z+x},c=\frac{z}{x+y}$ do từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$ và từ đó đơn giản

nhưng từ cái $a^2+b^2+c^2+abc=4$ đặt được như trên thì em không hiểu lí do

mong một lời giải thích

 

NTP

 

Quan trọng là ở từng bài toán, có thể từ giả thiết đó nhưng có nhiều cách đổi biến khác nhau tùy vào từng bài toán!



#3 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-09-2014 - 19:30

mọi người cho em hỏi từ giả thiết $a^2+b^2+c^2+abc=4$ với $a,b,c>0$ sao lại có thể đặt 

$a=\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}},b=\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}},c=\frac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}$

hoặc $a=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}},b=\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}},c=\frac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}$

ví dụ như từ giả thiết $ab+bc+ca+abc=4$ thì có thể đặt $x=\frac{2a}{b+c};y=\frac{2b}{c+a};z=\frac{2c}{a+b}$ thì cái đó em hiểu là từ $ab+bc+ca+abc=4$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$ và từ đó thì đơn giản

hay từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta có thể đặt $a=\frac{x}{y+z},b=\frac{y}{z+x},c=\frac{z}{x+y}$ do từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$ và từ đó đơn giản

nhưng từ cái $a^2+b^2+c^2+abc=4$ đặt được như trên thì em không hiểu lí do

mong một lời giải thích

 

NTP

Câu hỏi của bạn chardhdmovies rất hay. Để trả lời câu hỏi của bạn mình xin đưa ra một ví dụ như sau

Ví dụ khi ta có $xyz=x+y+z+2$ thì ta có thể đặt $x=\frac{b+c}{a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c}$

Vì khi $xyz=x+y+z+2$ thì ta sẽ có : $$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=1(*)$$

Từ đó tồn tại $a,b,c$ sao cho $\frac{1}{1+x}=\frac{a}{a+b+c},\frac{1}{1+y}=\frac{b}{a+b+c},\frac{1}{1+z}=\frac{c}{a+b+c}$

Từ đó suy ra $x=\frac{b}{c+a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c}$

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 21-09-2014 - 19:38


#4 Huy Thong

Huy Thong

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du

Đã gửi 21-09-2014 - 20:03

mọi người cho em hỏi từ giả thiết $a^2+b^2+c^2+abc=4$ với $a,b,c>0$ sao lại có thể đặt 

$a=\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}},b=\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}},c=\frac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}$

hoặc $a=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}},b=\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}},c=\frac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}$

ví dụ như từ giả thiết $ab+bc+ca+abc=4$ thì có thể đặt $x=\frac{2a}{b+c};y=\frac{2b}{c+a};z=\frac{2c}{a+b}$ thì cái đó em hiểu là từ $ab+bc+ca+abc=4$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$ và từ đó thì đơn giản

hay từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta có thể đặt $a=\frac{x}{y+z},b=\frac{y}{z+x},c=\frac{z}{x+y}$ do từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$ và từ đó đơn giản

nhưng từ cái $a^2+b^2+c^2+abc=4$ đặt được như trên thì em không hiểu lí do

mong một lời giải thích

NTP

Đặt $m=\dfrac{2a}{bc}, n=\dfrac{2b}{ca}, p=\dfrac{2c}{ab}$ $(m,n,p>0)$

 

Khi đó $a=\dfrac{2}{\sqrt{np}}, b=\dfrac{2}{\sqrt{pm}}, c=\dfrac{2}{\sqrt{mn}}$

 

Từ $a^2+b^2+c^2+abc=4$ ta được $\dfrac{4}{np}+\dfrac{4}{pm}+\dfrac{4}{mn}+\dfrac{8}{mnp}=4 \Leftrightarrow m+n+p+2=mnp$

 

Dễ thấy tồn tại $x,y,z>0$ sao cho $m=\dfrac{x+y}{z}, n=\dfrac{y+z}{x}, p=\dfrac{z+x}{y}$ 

 

Hay $a=\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}},b=\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}},c=\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}$

 

Tiếp tục, nếu đặt $d=\sqrt{\dfrac{yz}{x}}, e=\sqrt{\dfrac{zx}{y}}, f=\sqrt{\dfrac{xy}{z}}$ thì $x=ef, y=fd, z=de$

 

Từ đó được $a=\frac{2d}{\sqrt{(d+e)(d+f)}},b=\frac{2e}{\sqrt{(e+f)(e+d)}},c=\frac{2f}{\sqrt{(f+d)(f+e)}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huy Thong: 21-09-2014 - 21:01


#5 phan huong

phan huong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:những điều mình thấy thú vị

Đã gửi 21-09-2014 - 21:05

Đặt $m=\dfrac{2a}{bc}, n=\dfrac{2b}{ca}, p=\dfrac{2c}{ab}$ $(m,n,p>0)$

 

Khi đó $a=\dfrac{2}{\sqrt{np}}, b=\dfrac{2}{\sqrt{pm}}, c=\dfrac{2}{\sqrt{mn}}$

 

Từ $a^2+b^2+c^2+abc=4$ ta được $\dfrac{4}{np}+\dfrac{4}{pm}+\dfrac{4}{mn}+\dfrac{8}{mnp}=4 \Leftrightarrow m+n+p+2=mnp$

 

Dễ thấy tồn tại $x,y,z>0$ sao cho $m=\dfrac{x+y}{z}, n=\dfrac{y+z}{x}, p=\dfrac{z+x}{y}$ 

 

Hay $a=\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}},b=\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}},c=\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}$

 

Tiếp tục, nếu đặt $d=\sqrt{\dfrac{yz}{x}}, e=\sqrt{\dfrac{zx}{y}}, f=\sqrt{\dfrac{xy}{z}}$ thì $x=ef, y=fd, z=de$

 

Từ đó được $a=\frac{2d}{\sqrt{(d+e)(d+f)}},b=\frac{2e}{\sqrt{(e+f)(e+d)}},c=\frac{2f}{\sqrt{(f+d)(f+e)}}$

Dễ thấy tồn tại x,y,z>0 sao cho $m =\frac{x + y}{z},n=\frac{y+z}{x}, p=\frac{x+z}{y}$ Cái này em không hiểu cho lắm :( .Để chứng minh nó thì nhân hết ra ạ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phan huong: 21-09-2014 - 21:10


#6 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 21-09-2014 - 21:14

Dễ thấy tồn tại x,y,z>0 sao cho $m =\frac{x + y}{z},n=\frac{y+z}{x}, p=\frac{x+z}{y}$ Cái này em không hiểu cho lắm :( .Để chứng minh nó thì nhân hết ra ạ

từ $m+n+p+2=mnp$ thì được $\frac{1}{m+1}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{p+1}=1$ do đó tồn tại $\frac{1}{m+1}=\frac{x}{x+y+z},\frac{1}{n+1}=\frac{y}{x+y+z},\frac{1}{p+1}=\frac{z}{x+y+z}\Rightarrow m=\frac{y+z}{x},...$

 

NTP


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#7 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 21-09-2014 - 21:22

Cái này anh có thể phân phối, rồi qui đồng lại cũng dễ hiểu mà

Ví dụ đề thi HSG Thái Bình: 

Cho a,b,c dương: $\sum \frac{1}{1+a}=2.CMR: \sum \frac{1}{a}\geq 4(a+b+c)$

Cách giải: Từ gt, suy ra: $\frac{1}{1+a}=\frac{y+z}{x+y+z};....$

Tương tự, vì cộng lại đúng với cái gt mà :D


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#8 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 21-09-2014 - 21:24

Cái này anh có thể phân phối, rồi qui đồng lại cũng dễ hiểu mà

Ví dụ đề thi HSG Thái Bình: 

Cho a,b,c dương: $\sum \frac{1}{1+a}=2.CMR: \sum \frac{1}{a}\geq 4(a+b+c)$

Cách giải: Từ gt, suy ra: $\frac{1}{1+a}=\frac{y+z}{x+y+z};....$

Tương tự, vì cộng lại đúng với cái gt mà :D

ý anh là sao có thể đặt được thôi

chứ nhân vào thì dễ rồi

 

NTP


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#9 phan huong

phan huong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:những điều mình thấy thú vị

Đã gửi 21-09-2014 - 21:37

Nhân tiện mọi người cho em hỏi bài này:Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$  chứng minh

$3(a+b+c)\geq \sqrt{7a^{2}+2}+\sqrt{7b^{2}+2}+\sqrt{7c^{2}+2}$



#10 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 21-09-2014 - 21:42

Nhân tiện mọi người cho em hỏi bài này:Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$  chứng minh

$3(a+b+c)\geq \sqrt{7a^{2}+2}+\sqrt{7b^{2}+2}+\sqrt{7c^{2}+2}$

$\sum \sqrt{7a^2+2}=\sum \sqrt{a(7a+\frac{2}{a})}\leq \sqrt{(\sum a)(7\sum a+2\sum \frac{1}{a})}=3(a+b+c)$

 

NTP


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#11 phan huong

phan huong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:những điều mình thấy thú vị

Đã gửi 21-09-2014 - 21:54

$\sum \sqrt{7a^2+2}=\sum \sqrt{a(7a+\frac{2}{a})}\leq \sqrt{(\sum a)(7\sum a+2\sum \frac{1}{a})}=3(a+b+c)$

 

NTP

thật sự .mình không hiểu cho lắm.Bạn nói rõ hơn 1 chút được không.ở lớp có 1 bạn bảo mình áp dụng BĐT Trư-bê-sep nhưng mình lại không biết đó là BĐT gì.Nếu bạn biết thì bảo mình với



#12 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 21-09-2014 - 22:06

thật sự .mình không hiểu cho lắm.Bạn nói rõ hơn 1 chút được không.ở lớp có 1 bạn bảo mình áp dụng BĐT Trư-bê-sep nhưng mình lại không biết đó là BĐT gì.Nếu bạn biết thì bảo mình với

cái bài trên mình sử dụng $bunhia$ thôi dạng $ax+by+cz\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}$

còn dùng $chebushep$ thì

bđt $chebushep$ là cho hai dãy số $a_1,a_2,..,a_n$ và $b_1,b_2,...,b_n$ với hay dãy trên cùng tăng hay giảm thì $n(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)\geq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)$

nếu hay dãy tăng,giảm ngược chiều thì $n(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)\leq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)$

từ giả thiết ta có $\sum (\frac{a^2-1}{a})=0$

bđt cần chứng minh tương đương $\sum \frac{a^2-1}{2a+\sqrt{a^2+3}}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq 0$

không mất tính tổng quát giả sử $a\leq b\leq c\leq d$ thì ta có hai dãy tăng

$\left\{\begin{matrix} \frac{a^2-1}{a}\leq \frac{b^2-1}{b}\leq \frac{c^2-1}{c}\leq \frac{d^2-1}{d}\\\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}} \leq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}}\leq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}}\leq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{d^2}}} \end{matrix}\right.$

do đó áp dụng bđt $chebushep$ thì $4\sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \sum (\frac{a^2-1}{a}).\sum \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}=0$

do đó bđt được chứng minh

cách giải bằng $chebushep$ trên là mình lấy từ cuốn tài liệu chuyên toán

 

NTP


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh