Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$A= \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 trameo

trameo

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Một nơi trên Trái Đất :))

Đã gửi 21-09-2014 - 20:54

Cho x, y, z thỏa mãn: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết:

$A= \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+1}$



#2 Huy Thong

Huy Thong

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du

Đã gửi 21-09-2014 - 21:09

 

Cho x, y, z thỏa mãn: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết:

$A= \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+1}$

Phải là giá trị lớn nhất chứ nhỉ?

Đặt $x=\dfrac{a}{\sqrt{bc}}, y=\dfrac{b}{\sqrt{ca}}, z=\dfrac{c}{\sqrt{ab}}$

Khi đó $A=\sum \dfrac{xyz}{x^3+y^3+xyz} \geq \sum \dfrac{xyz}{xy(x+y)+xyz}=\sum \dfrac{z}{x+y+z}=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huy Thong: 21-09-2014 - 21:20


#3 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Phương trình, hệ phương trình,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 21-09-2014 - 21:19

Cho x, y, z thỏa mãn: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết:

$A= \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+1}$

Đặt $x^2=a^3,y^2=b^3,z^2=c^3$ mà $xyz=1$ suy ra $abc=1$ ta có:$A=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}$

Ta có:$a^3+b^3\geq ab(a+b)$

Tương tự ta có các bất đẳng thức:$b^3+c^3\geq bc(b+c)$,$c^3+a^3\geq ac(a+c)$

Từ đó có:$A\leq \frac{abc}{ab(a+b)+abc}+\frac{abc}{bc(b+c)+abc}+\frac{abc}{ac(a+c)+abc}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$

Dấu bằng xảy ra <=>$x=y=z=1$

 

Mình có 2 nhận xét sau:

_Thứ nhất:Bài toán phải là tìm giá trị lớn nhất nhé bạn

_Thứ hai:Bạn chú ý đến bài toán phụ sau rất quan trong thi USA MO 1998:

Cho $a,b,c>0$,$abc=1$.Chứng minh:$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1$

Bạn thử sức bài toán sau ý tưởng đặt tương tự

Cho $a,b,c>0$ ,$abc=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

$B=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}$


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#4 trameo

trameo

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Một nơi trên Trái Đất :))

Đã gửi 21-09-2014 - 21:45

Đặt $x^2=a^3,y^2=b^3,z^2=c^3$ mà $xyz=1$ suy ra $abc=1$ ta có:$A=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}$

Ta có:$a^3+b^3\geq ab(a+b)$

Tương tự ta có các bất đẳng thức:$b^3+c^3\geq bc(b+c)$,$c^3+a^3\geq ac(a+c)$

Từ đó có:$A\leq \frac{abc}{ab(a+b)+abc}+\frac{abc}{bc(b+c)+abc}+\frac{abc}{ac(a+c)+abc}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$

Dấu bằng xảy ra <=>$x=y=z=1$

 

Mình có 2 nhận xét sau:

_Thứ nhất:Bài toán phải là tìm giá trị lớn nhất nhé bạn

_Thứ hai:Bạn chú ý đến bài toán phụ sau rất quan trong thi USA MO 1998:

Cho $a,b,c>0$,$abc=1$.Chứng minh:$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1$

Bạn thử sức bài toán sau ý tưởng đặt tương tự

Cho $a,b,c>0$ ,$abc=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

$B=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}$

Xin lỗi mình ghi sai đề. Cảm ơn bạn nhiều nha  :biggrin:  :biggrin:  :biggrin:



#5 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 22-09-2014 - 01:55

 

Mình có 2 nhận xét sau:

_Thứ nhất:Bài toán phải là tìm giá trị lớn nhất nhé bạn

_Thứ hai:Bạn chú ý đến bài toán phụ sau rất quan trong thi USA MO 1998:

Cho $a,b,c>0$,$abc=1$.Chứng minh:$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1$

Bạn thử sức bài toán sau ý tưởng đặt tương tự

Cho $a,b,c>0$ ,$abc=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

$B=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}$

Cả $2$ câu đều áp dụng BĐT dạng $a^3+b^3 \geq ab(a+b)$ ở dưới mẫu

Câu $1$: Áp dụng cho $a^3$ và $b^3$. Thay $1=abc$ ở dưới mẫu, rồi phân tích

Câu $2$: Đặt $a=x^3;b=y^3;c=z^3$. Rồi làm tương tự. 


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh