Cho x, y, z thỏa mãn: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết:
$A= \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+1}$
$A= \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+1}$
Bắt đầu bởi trameo, 21-09-2014 - 20:54
#2
Đã gửi 21-09-2014 - 21:09
Huy Thong
-
- Thành viên
-
- 16 Bài viết
Binh nhì
Cho x, y, z thỏa mãn: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết:
$A= \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+1}$
Phải là giá trị lớn nhất chứ nhỉ?
Đặt $x=\dfrac{a}{\sqrt{bc}}, y=\dfrac{b}{\sqrt{ca}}, z=\dfrac{c}{\sqrt{ab}}$
Khi đó $A=\sum \dfrac{xyz}{x^3+y^3+xyz} \geq \sum \dfrac{xyz}{xy(x+y)+xyz}=\sum \dfrac{z}{x+y+z}=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huy Thong: 21-09-2014 - 21:20
- nguyenhongsonk612, quangnghia, Mikhail Leptchinski và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 21-09-2014 - 21:19
Mikhail Leptchinski
-
- Thành viên
-
- 703 Bài viết
Thiếu úy
Cho x, y, z thỏa mãn: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết:
$A= \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+1}$
Đặt $x^2=a^3,y^2=b^3,z^2=c^3$ mà $xyz=1$ suy ra $abc=1$ ta có:$A=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}$
Ta có:$a^3+b^3\geq ab(a+b)$
Tương tự ta có các bất đẳng thức:$b^3+c^3\geq bc(b+c)$,$c^3+a^3\geq ac(a+c)$
Từ đó có:$A\leq \frac{abc}{ab(a+b)+abc}+\frac{abc}{bc(b+c)+abc}+\frac{abc}{ac(a+c)+abc}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$
Dấu bằng xảy ra <=>$x=y=z=1$
Mình có 2 nhận xét sau:
_Thứ nhất:Bài toán phải là tìm giá trị lớn nhất nhé bạn
_Thứ hai:Bạn chú ý đến bài toán phụ sau rất quan trong thi USA MO 1998:
Cho $a,b,c>0$,$abc=1$.Chứng minh:$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1$
Bạn thử sức bài toán sau ý tưởng đặt tương tự
Cho $a,b,c>0$ ,$abc=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
$B=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}$
- nguyenhongsonk612, VuDucTung, ducanh1980 và 2 người khác yêu thích
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông
Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
Tại đây
#4
Đã gửi 21-09-2014 - 21:45
trameo
-
- Thành viên
-
- 29 Bài viết
Binh nhất
Đặt $x^2=a^3,y^2=b^3,z^2=c^3$ mà $xyz=1$ suy ra $abc=1$ ta có:$A=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}$
Ta có:$a^3+b^3\geq ab(a+b)$
Tương tự ta có các bất đẳng thức:$b^3+c^3\geq bc(b+c)$,$c^3+a^3\geq ac(a+c)$
Từ đó có:$A\leq \frac{abc}{ab(a+b)+abc}+\frac{abc}{bc(b+c)+abc}+\frac{abc}{ac(a+c)+abc}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$
Dấu bằng xảy ra <=>$x=y=z=1$
Mình có 2 nhận xét sau:
_Thứ nhất:Bài toán phải là tìm giá trị lớn nhất nhé bạn
_Thứ hai:Bạn chú ý đến bài toán phụ sau rất quan trong thi USA MO 1998:
Cho $a,b,c>0$,$abc=1$.Chứng minh:$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1$
Bạn thử sức bài toán sau ý tưởng đặt tương tự
Cho $a,b,c>0$ ,$abc=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
$B=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}$
Xin lỗi mình ghi sai đề. Cảm ơn bạn nhiều nha 
#5
Đã gửi 22-09-2014 - 01:55
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
Mình có 2 nhận xét sau:
_Thứ nhất:Bài toán phải là tìm giá trị lớn nhất nhé bạn
_Thứ hai:Bạn chú ý đến bài toán phụ sau rất quan trong thi USA MO 1998:
Cho $a,b,c>0$,$abc=1$.Chứng minh:$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1$
Bạn thử sức bài toán sau ý tưởng đặt tương tự
Cho $a,b,c>0$ ,$abc=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
$B=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}$
Cả $2$ câu đều áp dụng BĐT dạng $a^3+b^3 \geq ab(a+b)$ ở dưới mẫu
Câu $1$: Áp dụng cho $a^3$ và $b^3$. Thay $1=abc$ ở dưới mẫu, rồi phân tích
Câu $2$: Đặt $a=x^3;b=y^3;c=z^3$. Rồi làm tương tự.
- trameo yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
