Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$IE^2=\frac{bca^2}{(a+b)(a+c)}-2p(b-c)^2.\frac{abc}{(a+b)^2(a+c)^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 22-09-2014 - 20:03

Cho tam giác $ABC$, các đường phân giác trong $BE,CI$. Chứng minh đẳng thức sau: 

$IE^2=\frac{bca^2}{(a+b)(a+c)}-2p(b-c)^2.\frac{abc}{(a+b)^2(a+c)^2}$
với $(p=\frac{\sum a}{2})$


NgọaLong

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1413 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 03-02-2016 - 11:14

Cho tam giác $ABC$, các đường phân giác trong $BE,CI$. Chứng minh đẳng thức sau: 

$IE^2=\frac{bca^2}{(a+b)(a+c)}-2p(b-c)^2.\frac{abc}{(a+b)^2(a+c)^2}$
với $(p=\frac{\sum a}{2})$

Ta có :

$\frac{IA}{IB}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{IA}{AB}=\frac{b}{a+b}\Rightarrow IA=\frac{bc}{a+b}$

$\frac{EA}{EC}=\frac{c}{a}\Rightarrow \frac{EA}{AC}=\frac{c}{a+c}\Rightarrow EA=\frac{bc}{a+c}$

Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác $AIE$ :

$IE^2=IA^2+EA^2-2\ IA.EA.\cos A=\frac{b^2c^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2c^2}{(a+c)^2}-\frac{2\ b^2c^2}{(a+b)(a+c)}.\frac{b^2+c^2-a^2}{2\ bc}$

$=\frac{bc\left [ bc(2a^2+2ab+2ac+b^2+c^2)-(a^2+ab+ac+bc)(b^2+c^2-a^2) \right ]}{(a+b)^2(a+c)^2}$

$=\frac{abc\left [ a^2(a+b+c)-a(b^2+c^2)-(b-c)(b^2-c^2)+3\ abc \right ]}{(a+b)^2(a+c)^2}$ (1)

Mặt khác :

$\frac{a^2bc}{(a+b)(a+c)}-\frac{2p(b-c)^2abc}{(a+b)^2(a+c)^2}=\frac{abc\left [ a(a+b)(a+c)-(a+b+c)(b-c)^2 \right ]}{(a+b)^2(a+c)^2}$

$=\frac{abc\left ( a^3+a^2b+a^2c-ab^2+3abc-ac^2-b^3+b^2c+bc^2-c^3 \right )}{(a+b)^2(a+c)^2}$

$=\frac{abc\left [ a^2(a+b+c)-a(b^2+c^2)-(b-c)(b^2-c^2)+3\ abc \right ]}{(a+b)^2(a+c)^2}$ (2)

So sánh (1) và (2), ta có điều phải chứng minh.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh