Cho tam giác $ABC$, các đường phân giác trong $BE,CI$. Chứng minh đẳng thức sau:
$IE^2=\frac{bca^2}{(a+b)(a+c)}-2p(b-c)^2.\frac{abc}{(a+b)^2(a+c)^2}$
với $(p=\frac{\sum a}{2})$
Cho tam giác $ABC$, các đường phân giác trong $BE,CI$. Chứng minh đẳng thức sau:
$IE^2=\frac{bca^2}{(a+b)(a+c)}-2p(b-c)^2.\frac{abc}{(a+b)^2(a+c)^2}$
với $(p=\frac{\sum a}{2})$
Cho tam giác $ABC$, các đường phân giác trong $BE,CI$. Chứng minh đẳng thức sau:
$IE^2=\frac{bca^2}{(a+b)(a+c)}-2p(b-c)^2.\frac{abc}{(a+b)^2(a+c)^2}$
với $(p=\frac{\sum a}{2})$
Ta có :
$\frac{IA}{IB}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{IA}{AB}=\frac{b}{a+b}\Rightarrow IA=\frac{bc}{a+b}$
$\frac{EA}{EC}=\frac{c}{a}\Rightarrow \frac{EA}{AC}=\frac{c}{a+c}\Rightarrow EA=\frac{bc}{a+c}$
Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác $AIE$ :
$IE^2=IA^2+EA^2-2\ IA.EA.\cos A=\frac{b^2c^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2c^2}{(a+c)^2}-\frac{2\ b^2c^2}{(a+b)(a+c)}.\frac{b^2+c^2-a^2}{2\ bc}$
$=\frac{bc\left [ bc(2a^2+2ab+2ac+b^2+c^2)-(a^2+ab+ac+bc)(b^2+c^2-a^2) \right ]}{(a+b)^2(a+c)^2}$
$=\frac{abc\left [ a^2(a+b+c)-a(b^2+c^2)-(b-c)(b^2-c^2)+3\ abc \right ]}{(a+b)^2(a+c)^2}$ (1)
Mặt khác :
$\frac{a^2bc}{(a+b)(a+c)}-\frac{2p(b-c)^2abc}{(a+b)^2(a+c)^2}=\frac{abc\left [ a(a+b)(a+c)-(a+b+c)(b-c)^2 \right ]}{(a+b)^2(a+c)^2}$
$=\frac{abc\left ( a^3+a^2b+a^2c-ab^2+3abc-ac^2-b^3+b^2c+bc^2-c^3 \right )}{(a+b)^2(a+c)^2}$
$=\frac{abc\left [ a^2(a+b+c)-a(b^2+c^2)-(b-c)(b^2-c^2)+3\ abc \right ]}{(a+b)^2(a+c)^2}$ (2)
So sánh (1) và (2), ta có điều phải chứng minh.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh