Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $b <\frac{-1}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 890 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 22-09-2014 - 23:58

Bài toán : Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^{2}+ax+b.$ Biết phương trình $f(f(x))=0$ có bốn nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ thỏa mãn $x_{1}+x_{2}=-1.$ Chứng minh $b <\frac{-1}{4}$


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 28-09-2014 - 17:28

Bài toán : Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^{2}+ax+b.$ Biết phương trình $f(f(x))=0$ có bốn nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ thỏa mãn $x_{1}+x_{2}=-1.$ Chứng minh $b <\frac{-1}{4}$

Đề bài cần bổ sung dữ kiện $x_{1}< x_{2}< x_{3}< x_{4}$

$x_{1}+x_{2}=-1$ và $x_{1}< x_{2}\Rightarrow x_{1}< -\frac{1}{2}$

Phương trình $f(f(x))=0$ có thể viết như sau : $y^2+ay+b=0$ (1) 

Trong đó $y=x^2+ax+b$

Giả sử (1) có $2$ nghiệm phân biệt là $y_{1}=\alpha$ và $y_{2}=\beta$

Và các pt $x^2+ax+(b-\alpha)=0$ (2) và $x^2+ax+(b-\beta)=0$ (3) đều có 2 nghiệm phân biệt (trong đó $x_{1}$ là nghiệm của (2))

Theo định lý Viete, tổng 2 nghiệm của pt (2) bằng tổng 2 nghiệm của pt (3) và bằng $-a$

Như vậy $x_{1}$ và $x_{4}$ là nghiệm của (2) ; $x_{2}$ và $x_{3}$ là nghiệm của (3).

Ta có :

$x_{2}=-1-x_{1}=-(x_{1}+1)$

$x_{3}=-a+x_{1}+1$

$x_{4}=-a-x_{1}=-(a+x_{1})$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}b-\alpha =-(a+x_{1})x_{1}\\b-\beta =-(x_{1}+1)(x_{1}+1-a)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \alpha -\beta =2ax_{1}-2x_{1}+a-1$ (4)

Mặt khác $\alpha +\beta =-a$ (5)

(4),(5) $\Rightarrow \alpha =\frac{2ax_{1}-2x_{1}-1}{2}$

$\Rightarrow b=\alpha -(a+x_{1})x_{1}=\frac{-2x_{1}^{2}-2x_{1}-1}{2}=-\left ( x_{1}^{2}+x_{1}+\frac{1}{4} \right )-\frac{1}{4}=-\left ( x_{1}+\frac{1}{2} \right )^2-\frac{1}{4}< -\frac{1}{4}$ (vì $x_{1}< -\frac{1}{2}$)

Vậy ta có $b< -\frac{1}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 28-09-2014 - 19:06

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh