Chủ đề này có 1 trả lời

[phamxuanvinh08101997]

Gải pt nghiệm nguyên dương t,x,y,z thoả mãn \[{2^t} = {3^x}{5^y} + {7^z}\]

[lahantaithe99]

Gải pt nghiệm nguyên dương t,x,y,z thoả mãn \[{2^t} = {3^x}{5^y} + {7^z}\]

 

Trước tiên có $2^t\equiv 1$ (mod 3) nên $t$ chẵn suy ra $t=2t_1$

 

Có $t\geq 3$ nên $3^x5^y+7^z\equiv 0$ (mod 4) hay $(-1)^x+(-1)^z\equiv 0$ (mod 4) $\Rightarrow $ $x,z$ khác tính chẵn lẻ

 

TH1: $x=2x_1$, $z=2z_1+1$

 

$3^{2x_1}5^y+7^{2z_1+1}\equiv 5^y+7\equiv 0$ (mod 8) nên $y$ chẵn ( $y=2y_1$)

 

Khi đó $7^z=(2^{t_1}-3^{x_1}5^{y_1})(2^{t_1}+3^{x_1}5^{y_1})$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} 2^{t_1}-3^{x_1}5^{y_1}=7^m & \\ 2^{t_1}+3^{x_1}5^{y_1}=7^n & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2^{t_1+1}=7^m+7^n\rightarrow m=0$

 

Suy ra $2^{t_1}\equiv 1$ (mod 5). Xét $t_1$ nguyên dương với modulo $4$ (loại)

 

TH2: $x$ lẻ, $z=2z_1$

 

Phương trình đưa về $(2^{t_1}-7^{z_1})(2^{t_1}+7^{z_1})=3^x5^y$

 

Đặt và làm tương tự TH1..................