Chủ đề này có 3 trả lời

[Mrnhan]

Cho không gian metric $M=(X, d)$. Đường kính của một tập hợp bất kỳ khác rỗng $A\subset X$ được xác định bởi công thức:

 

$$d(A)=\underset{x,y\in A}{\sup}d(x,y)$$

 

Dãy các tập hợp đóng khác rỗng $F_1, F_2,...,F_n,..$ trong không gian M gọi là thắt dần nếu $$F_n\supset F_{n+1},\, \lim_{n\to \infty}d(F_n)=0$$

 

Chứng minh rằng không gian $M=(X,d)$ đầy khi và chỉ khi mọi dãy các tập đóng khác rỗng thắt dần có giao khác rỗng.

[bangbang1412]

$(=>)$ Trường hợp $M$ đủ suy ra mọi dãy thắt đều giao khác rỗng là đủ . Thật vậy nếu $M=(X,d)$ là đầy đủ xét một dãy thắt bất kì . Với mỗi $n$ đặt $d(F_{n})=d_{n}$ . Do $lim_{n \to \infty} d_{n}=0$ nên $\forall c > 0 \exists N , n > N : d_{n}<c$ , với mỗi $n$ chọn một cặp $(x_{a},x_{b}) \in F_{n}$ thế thì dãy $(x_{i})$ là dãy Cauchy , do $M$ là đầy đủ nên dãy $(x_{i})$ hội tụ . Nhưng lại do dãy này toàn là tập đóng nên nó chứa chung giới hạn $a = lim_{n \to \infty} x_{n}$

$(<=)$ Trong trường hợp này ta chọn một dãy Cauchy là $(a_{n})$ và xét dãy hình cầu đóng tâm $a_{n}$ bán kính $r_{n} \to 0$

$$S[a_{1},r_{1}]\supset S[a_{2},r_{2}]\supset .... S_[a_{n},r_{n}]\supset ...$$

Gọi $a$ là điểm chung của dãy hình câu đóng này thế thì ( lưu ý do nó là dãy Cauchy nên mới chọn được ) 

$$d(a_{n},a)\leq r_{n}$$

Như vậy dãy $a_{n}$ hội tụ về $a$ , tức là mọi dãy Cauchy đều hội tụ do đó $M=(X,d)$ là đầy đủ .

Tham khảo thêm tại đây định lý phạm trù Baire 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 17-10-2016 - 21:50

[vutuanhien]

$(=>)$ Trường hợp $M$ đủ suy ra mọi dãy thắt đều giao khác rỗng là đủ . Thật vậy nếu $M=(X,d)$ là đầy đủ xét một dãy thắt bất kì . Với mỗi $n$ đặt $d(F_{n})=d_{n}$ . Do $lim_{n \to \infty} d_{n}=0$ nên $\forall c > 0 \exists N , n > N : d_{n}<c$ , với mỗi $n$ chọn một cặp $(x_{a},x_{b}) \in F_{n}$ thế thì dãy $(x_{i})$ là dãy Cauchy , do $M$ là đầy đủ nên dãy $(x_{i})$ hội tụ . Nhưng lại do dãy này toàn là tập đóng nên nó chứa chung giới hạn $a = lim_{n \to \infty} x_{n}$

$(<=)$ Trong trường hợp này ta chọn một dãy Cauchy là $(a_{n})$ và xét dãy hình cầu đóng tâm $a_{n}$ bán kính $r_{n} \to 0$

$$S[a_{1},r_{1}]\supset S[a_{2},r_{2}]\supset .... S_[a_{n},r_{n}]\supset ...$$

Gọi $a$ là điểm chung của dãy hình câu đóng này thế thì ( lưu ý do nó là dãy Cauchy nên mới chọn được ) 

$$d(a_{n},a)\leq r_{n}$$

Như vậy dãy $a_{n}$ hội tụ về $a$ , tức là mọi dãy Cauchy đều hội tụ do đó $M=(X,d)$ là đầy đủ .

Tham khảo thêm tại đây định lý phạm trù Baire 

Ủa bài này liên quan gì đến Định lý Baire đâu, với cả mỗi $F_n$ chỉ cần chọn ra một $x_n$ là được rồi, việc em chọn ra hẳn một cặp $(x_a, x_b)$ để làm gì vậy?

Còn việc chọn $a$ thì dãy nào cũng chọn được mà, chỉ là đang cần chứng minh không gian đủ nên mới lấy dãy Cauchy thôi. 

[bangbang1412]

Ủa bài này liên quan gì đến Định lý Baire đâu, với cả mỗi $F_n$ chỉ cần chọn ra một $x_n$ là được rồi, việc em chọn ra hẳn một cặp $(x_a, x_b)$ để làm gì vậy?

Còn việc chọn $a$ thì dãy nào cũng chọn được mà, chỉ là đang cần chứng minh không gian đủ nên mới lấy dãy Cauchy thôi. 

À em thấy nó đề cập đến nên em thêm link nào .