Chủ đề này có 1 trả lời

[RoyalMadrid]

Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức:

$P = \sum \frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

[25 minutes]

Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức:

$P = \sum \frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

Áp dụng AM-GM ta có 

 $\frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\geqslant \frac{2x^2\sqrt{yz}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}=\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

Đặt $(x\sqrt{x},...)=(a,...)\Rightarrow abc=1$

Và $P\geqslant \sum \frac{2a}{b+2c}=\sum \frac{4a^2}{2ab+4ac}\geqslant \frac{4(a+b+c)^2}{6(ab+bc+ca)}\geqslant 2$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=1$