Chủ đề này có 2 trả lời

[RoyalMadrid]

Cho x,y,z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\sum x(\frac{x}{2}+\frac{1}{yz})$

[25 minutes]

Cho x,y,z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\sum x(\frac{x}{2}+\frac{1}{yz})$

Ta có $P=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\geqslant \frac{x^2+y^2+z^2}{2}+\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\sum (\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x})$

Áp dụng AM-GM ta có 

       $\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow P\geqslant \sum (\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x})\geqslant \frac{9}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

[tusauhot]

$ P=\sum ( \frac{ x^{2}}{2}+\frac{x}{2yz}+\frac{x}{2yz} ) \geq 9\ \sqrt[9]{\frac{1}{2^{9}}}=\frac{9}{2} $

 

$x=y=z=1$

 

Bài này mình cũng khá bất ngờ khi nó ở trong đề thi ĐH khối B, nói chung là hướng làm đơn giản chưa từng thấy 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tusauhot: 24-09-2014 - 17:00