Cho x,y,z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\sum x(\frac{x}{2}+\frac{1}{yz})$
Cho x,y,z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\sum x(\frac{x}{2}+\frac{1}{yz})$
Cho x,y,z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\sum x(\frac{x}{2}+\frac{1}{yz})$
Ta có $P=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\geqslant \frac{x^2+y^2+z^2}{2}+\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\sum (\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x})$
Áp dụng AM-GM ta có
$\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}$
$\Rightarrow P\geqslant \sum (\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x})\geqslant \frac{9}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
$ P=\sum ( \frac{ x^{2}}{2}+\frac{x}{2yz}+\frac{x}{2yz} ) \geq 9\ \sqrt[9]{\frac{1}{2^{9}}}=\frac{9}{2} $
$x=y=z=1$
Bài này mình cũng khá bất ngờ khi nó ở trong đề thi ĐH khối B, nói chung là hướng làm đơn giản chưa từng thấy
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tusauhot: 24-09-2014 - 17:00
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh