Chủ đề này có 6 trả lời

[zzhanamjchjzz]

Bài 1: Cho a,b,c dương thỏa $a+b+c=3$ CMR:

  $\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ac}+\frac{c}{c+2ab} \geq 1$

 

Bài 2: Cho a,b,c dương thỏa $ab+bc+ca=1$ CMR_

    $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geq \frac{5}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zzhanamjchjzz: 24-09-2014 - 11:45

[NgocHieuKHTN]

Ta có : 

a+b+c =3 , a=3-b-c(hiển nhiên)

bất đẳng thức chứng minh tương đương với việc CM

$\sum \frac{a}{3-b-c+2bc}\geq 1 \Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{3a-ba-ca+2abc}\geq 1$

VT $\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3(a+b+c)-2(ab+bc+ac)+6abc)}$

Cần CM $(a+b+c)^{2}\geqslant 3(a+b+c)-2(ab+bc+ac)+6abc\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 3abc=(a+b+c)abc$

mà dễ CM được 

$abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ac)^{2}}{3}$

tương đương việc CM $ab+bc+ac\geq \frac{(ab+bc+ac)^{2}}{3}\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq 3$ 

bất đẳng thức trên đúng vì $ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c 1

[NgocHieuKHTN]

Bài 2 là các số không âm bạn ạ , nếu dương thì không xảy ra dấu bằng

[chardhdmovies]

Bài 1: Cho a,b,c dương thỏa $a+b+c=3$ CMR:

  $\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ac}+\frac{c}{c+2ab} \geq 1$

 

Bài 2: Cho a,b,c dương thỏa $ab+bc+ca=1$ CMR_

    $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geq \frac{5}{2}$

bài hai đề phải là $a,b,c$ không âm

xem ở đây

 

NTP

[zzhanamjchjzz]

bài hai đề phải là $a,b,c$ không âm

xem ở đây

 

NTP

bạn có thể giải cho mình được ko, bài đó p với r là gì mình ko hiểu 

[chardhdmovies]

bạn có thể giải cho mình được ko, bài đó p với r là gì mình ko hiểu 

đó là dùng $schur$ thôi bạn

$p=a+b+c,r=abc,q=ab+bc+ca$

có gì bạn tham khảo thêm pp này ở đây

 Pqr.pdf   527.62K   55 Số lần tải

 

NTP

[lahantaithe99]

Bài 1: Cho a,b,c dương thỏa $a+b+c=3$ CMR:

  $\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ac}+\frac{c}{c+2ab} \geq 1$

 

Bài 2: Cho a,b,c dương thỏa $ab+bc+ca=1$ CMR_

    $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geq \frac{5}{2}$

 

Cách khác

 

Bài 1:

 

Từ giả thiết suy ra $abc\leqslant 1$

 

Áp dụng BĐT BCS dạng cộng mẫu:

 

$P=\sum\frac{a}{a+2bc}=\sum\frac{a^2}{a^2+2abc}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6abc}$

 

Để chứng minh được bài toán thì ta đi chứng minh $6abc\leqslant 2(ab+bc+ac)$ hay $3abc\leqslant ab+bc+ac$

 

 

Thật vậy $(ab+bc+ac)^2\geqslant 3abc(a+b+c)=9abc\geqslant 9(abc)^2\Rightarrow ab+bc+ac\geqslant 3abc$

 

Do đó có đpcm. Dấu $=$ khi $a=b=c=1$

 

Bài 2: BĐT cần chứng minh tương đương với

 

$\sum \frac{1}{(a+b)^2}+\sum \frac{2}{(a+b)(a+c)}=\sum\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geqslant \frac{25}{4}$

 

 Theo BĐT Iran 1996 thì:

 

$\sum \frac{1}{(a+b)^2}\geqslant \frac{9}{4(ab+bc+ac)}=\frac{9}{4}$ $(1)$

 

Và $\frac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ac)}{\prod (a+b)}=\frac{4\left [ (a+b)(b+c)(c+a)+abc \right ]}{\prod (a+b)}\geqslant \frac{4\prod (a+b)}{\prod (a+b)}=4$ $(2)$

 

Từ $(1),(2)$ suy ra đpcm

 

Dấu $=$ khi hoặc $a=b=1,c=0$