Chủ đề này có 5 trả lời

[Mrnhan]

Cho ánh xạ $f$ từ không gian $\mathbb{R}^2$ vào chính nó là ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện:

 

$$\left ( \forall x,y\in \mathbb{R}^2 \right ),\, d\left ( f(x),f(y) \right )\geq \alpha d(x,y)$$

 

Trong đó $\alpha$ là hằng số và $\alpha >1$. Chứng minh $f$ có điểm bất động duy nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 24-09-2014 - 23:31

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

$f$ đi từ $\mathbb{R}^2$ sao anh? Hình như từ một tập compact mới đúng chứ. Khi đó mới chứng minh được sự tồn tại của điểm bất động.

[KoBietDatTenSaoChoHot]

Bài này hình như ko đúng thì phải. Theo linh tính mách bảo thì khoảng cách của hai điểm qua hàm số được tăng lên, như vậy thì làm sao có điểm bất động nhỉ? 

 

Ví dụ : f(x,y) = (x+1,y+1)

 

$d(f(x_1,y_1),f(x_2,y_2))=d((x_1+1,y_1+1),(x_2+1,y_2+1))=d((x_1,y_1),(x_2,y_2))$

 

và rõ ràng, f ko có điểm bất động.

[Nxb]

Ý của tác giả hình như chỉ là f nếu có điểm bất động thì điểm đó là duy nhất. Đơn giản vì nếu mà có $f(a)=a$ và $f(b)=b$ thì $d(a;b)=\alpha d(a;b)$ mà $\alpha$ lớn hơn 1 nên $d(a;b)=0$ tức là $a=b$. Còn đâu rõ ràng như vd trên thì không phải lúc nào cũng có điểm bất động.  Không thu được gì hết từ bài toán như vậy cả.

 

Còn đâu trường hợp tác giả viết nhầm mà phải thành $\alpha$ nhỏ hơn 1 thì đấy là ánh xạ co. Với điều kiện là từ một không gian metric đủ vào chính nó và f có điều kiện như trên không cần liên tục làm gì cả. Mà theo mình nghĩ ai học giải tích hàm cũng đều biết chứ nhỉ. Trường hợp hai là điều kiện ngược của tác giả và f liên tục nhưng như vd trên thì không thể xảy ra nữa rồi!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 13-10-2014 - 13:27

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Anh Nhân đâu rồi    dân tình người ta đang hóng câu trả lời của anh kìa.

[baocatbatu]

Nguyên lý ánh xạ co nhưng hình như tác giả ghi sai đề bài.