Chủ đề này có 1 trả lời

[RoyalMadrid]

Các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: 

$sin^2A+sin^2B+sin^2C = 3(cos^2A+cos^2B+cos^2C)$

Chứng minh tam giác ABC đều

[phan huong]

Các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: 

$sin^2A+sin^2B+sin^2C = 3(cos^2A+cos^2B+cos^2C)$

Chứng minh tam giác ABC đều

$sin^A+sin^B+sin^C = 3(cos^A+cos^B+cos^C)$ <=> sin² A + sin² B + sin² C =$\frac{9}{4}$

Mà ta lại có $sin^{2}A+sin^{2}B +sin^{2}C\leq \frac{9}{4}$. Thật vậy:

Biến đổi tương đương ta có 4.2.(1 + cosA.cosB.cosC)$\leq$9 <=> cosA.cosB.cosC $\leq \frac{1}{8}$ (bất đẳng thức này quen thuộc rồi nhé)

Từ đó dấu ''='' xảy ra khi A =B =C hay tam giác ABC đều( đpcm)