Các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
$sin^2A+sin^2B+sin^2C = 3(cos^2A+cos^2B+cos^2C)$
Chứng minh tam giác ABC đều
$sin^2A+sin^2B+sin^2C = 3(cos^2A+cos^2B+cos^2C)$
Bắt đầu bởi RoyalMadrid, 25-09-2014 - 15:17
Chủ đề này có 4 trả lời
#2
phan huong
-
- Thành viên
-
- 234 Bài viết
Thượng sĩ
- Giới tính:Nữ
- Sở thích:những điều mình thấy thú vị
Đã gửi 08-10-2014 - 21:51
Các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
$sin^2A+sin^2B+sin^2C = 3(cos^2A+cos^2B+cos^2C)$
Chứng minh tam giác ABC đều
$sin^A+sin^B+sin^C = 3(cos^A+cos^B+cos^C)$ <=> sin2 A + sin2 B + sin2 C =$\frac{9}{4}$
Mà ta lại có $sin^{2}A+sin^{2}B +sin^{2}C\leq \frac{9}{4}$. Thật vậy:
Biến đổi tương đương ta có 4.2.(1 + cosA.cosB.cosC)$\leq$9 <=> cosA.cosB.cosC $\leq \frac{1}{8}$ (bất đẳng thức này quen thuộc rồi nhé)
Từ đó dấu ''='' xảy ra khi A =B =C hay tam giác ABC đều( đpcm)
#4
toanhoc2017
-
- Thành viên
-
- 827 Bài viết
Trung úy
Đã gửi 14-02-2020 - 10:31
$(cosA+cosB+cosC)^2$ bé hơn hoặc bằng $(sin^2A+sin^2B+sin^2C)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc2017: 14-02-2020 - 10:33
#5
Yaya
-
- Thành viên
-
- 71 Bài viết
Hạ sĩ
- Giới tính:Nam
- Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
- Sở thích:Làm toán và đá banh
Đã gửi 15-02-2020 - 00:31
$sin^A+sin^B+sin^C = 3(cos^A+cos^B+cos^C)$ <=> sin2 A + sin2 B + sin2 C =$\frac{9}{4}$
Mà ta lại có $sin^{2}A+sin^{2}B +sin^{2}C\leq \frac{9}{4}$. Thật vậy:
Biến đổi tương đương ta có 4.2.(1 + cosA.cosB.cosC)$\leq$9 <=> cosA.cosB.cosC $\leq \frac{1}{8}$ (bất đẳng thức này quen thuộc rồi nhé)
Từ đó dấu ''='' xảy ra khi A =B =C hay tam giác ABC đều( đpcm)
Mình có bổ sung thêm vài cách chứng minh khác cho phần $sin^2A+sin^2B+sin^2C \leq \frac{9}{4}$ có thể đơn giản hơn.
https://vn.answers.y...12022922AAZIAvY
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
