Cho a,b,c dương. CMR:
$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
Cho a,b,c dương. CMR: $\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
#1
Đã gửi 27-09-2014 - 16:24
- nguyenhongsonk612 và Nguyen Huy Hoang thích
#2
Đã gửi 27-09-2014 - 16:52
Áp Dụng BĐT CauChy-Shwart
ta có : $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b^{2})}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a(b+c)^{2}}=\frac{(a+b+c)^{2}}{ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ba^{2}+ca^{2}+cb^{2}+2abc+4abc}=\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)+4abc}$
tới đây ta áp dụng AM-GM ta được
$VT\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{(2a+2b+2c)^{3}}{27}+\frac{4(a+b+c)^{3}}{27.}}$
rút gọn ta được VP
dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Đúng thì xin cái like !! hihi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgocHieuKHTN: 27-09-2014 - 16:53
- thinhrost1, zzhanamjchjzz, nguyenhongsonk612 và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 27-09-2014 - 17:02
Cho a,b,c dương. CMR:
$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
Bài này mình sẽ sữ dụng C-s để chứng minh, nhưng ở mức THCS, nên mình sẽ chứng minh lại bất đẳng thức C-S
Với mọi a,b,c,d,e,f thì $(a+b+c)(d+e+f)\geq (\sqrt{ad}+\sqrt{be}+\sqrt{cf})^{2}$
Ta có $\frac{a}{a+b+c}+\frac{d}{d+e+f}\geq 2\sqrt{\frac{ad}{(a+b+c)(d+e+f)}}$
$\frac{b}{a+b+c}+\frac{e}{d+e+f}\geq 2\sqrt{\frac{be}{(a+b+c)(d+e+f)}}$
$\frac{c}{a+b+c}+\frac{f}{d+e+f}\geq 2\sqrt{\frac{cf}{(a+b+c)(d+e+f)}}$
Cộng theo vế ta được
$2\geq 2(\frac{\sqrt{ad}+\sqrt{be}+\sqrt{cf}}{\sqrt{(a+b+c)(d+e+f)}})$
$(a+b+c)(d+e+f)\geq (\sqrt{ad}+\sqrt{be}+\sqrt{cf})^{2}$
Trở lại bài toán
Ta có $(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}})\geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}$
$\Rightarrow \frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}$
Ta sẽ chứng minh $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\frac{9}{2}$
$\Rightarrow 2(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$
Đặt $a=x+y, b=y+z, c=z+x$
$\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$
Ta có $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3\sqrt[3]{abc}3\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\geq 9$
Bài toán kết thúc
- thinhrost1, nguyenhongsonk612, Nguyen Huy Hoang và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 27-09-2014 - 20:42
Cho a,b,c dương. CMR:
$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
Áp dụng BĐT BCS dạng cộng mẫu kết hợp BĐT Nesbit có
$(a+b+c)\left [ \frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2} \right ]\geqslant (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2\geqslant \frac{9}{4}$
$\rightarrow \sum \frac{a}{(b+c)^2}\geqslant \frac{9}{4(a+b+c)}$ (đpcm)
- hoctrocuanewton, leduylinh1998, zzhanamjchjzz và 2 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 27-09-2014 - 23:43
Áp dụng BĐT BCS dạng cộng mẫu kết hợp BĐT Nesbit có
$(a+b+c)\left [ \frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2} \right ]\geqslant (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2\geqslant \frac{9}{4}$
$\rightarrow \sum \frac{a}{(b+c)^2}\geqslant \frac{9}{4(a+b+c)}$ (đpcm)
Cách này coi bộ ngon nhỉ ^^
- Nguyen Huy Hoang yêu thích
#6
Đã gửi 28-09-2014 - 08:13
Chuẩn hóa $a+b+c=3$
$\sum \dfrac{a}{(b+c)^2} \geqslant \dfrac{9}{4\sum a} \Leftrightarrow \sum \dfrac{a}{(a-3)^2} \geqslant \dfrac{3}{4}$
Điều này luôn đúng vì $\dfrac{x}{(x-3)^2} \geqslant \dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}\;\;\;\;\forall x \in (0;3)$
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#7
Đã gửi 20-04-2021 - 20:45
Cho a,b,c dương. CMR:
$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
Áp dụng Cô-si, ta có: $$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2=\frac{1}{2}.2a(b+c)(b+c)+\frac{1}{2}.2b(c+a)(c+a)+\frac{1}{2}.2c(a+b)(a+b)\leqslant\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+ \frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}=\frac{4}{9}(a+b+c)^3$$
$\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2}= \sum_{cyc}\frac{a^2}{a(b+c)^2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}a(b+c)^2} \geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\frac{4}{9}(a+b+c)^3} =\frac{9}{4(a+b+c)}$
Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c $
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh