Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm MIN:$\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^2}}+...$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Zeaynzs

Zeaynzs

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Studying Math

Đã gửi 28-09-2014 - 09:25

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c\leq \frac{3}{2}$ 

Tìm GTNN của $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 09-10-2014 - 23:08


#2 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 28-09-2014 - 09:36

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c\leq \frac{3}{2}$ 

Tìm GTNN của $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^2}}$

Theo BĐT Minicopski, có:

$VT\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+\frac{81}{(a+b+c)^2}}=\sqrt{(a+b+c)^2+\frac{81}{16(a+b+c)^2}+\frac{1215}{16(a+b+c)^2}}\geq \sqrt{2.\frac{9}{4}+\frac{135}{4}}=\frac{3.\sqrt{17}}{2}$

Dấu bằng: $a=b=c=\frac{1}{2}$


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#3 quangnghia

quangnghia

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN HCM

Đã gửi 28-09-2014 - 09:49

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c\leq \frac{3}{2}$ 

Tìm GTNN của $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^2}}$

Cảm giác dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$ nên ta có đánh giá sau

$(\frac{1}{4}+4)(a^{2}+\frac{1}{b^{2}})\geq (\frac{a}{2}+\frac{2}{b})^{2}$

$\Leftrightarrow (2a-\frac{1}{2b})^{2}\geq 0$

Vậy $\sum \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}\geq \frac{2}{\sqrt{17}}(\frac{a+b+c}{2}+\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c})\geq \frac{2}{\sqrt{17}}(\frac{a+b+c}{2}+\frac{18}{a+b+c})\geq \frac{2}{\sqrt{17}}(\frac{a+b+c}{2}+\frac{9}{8(a+b+c)}+\frac{135}{8(a+b+c)})\geq \frac{2}{\sqrt{17}}(\frac{3}{2}+\frac{135}{8.\frac{3}{2}})\geq \frac{3}{2}\sqrt{17}$

Ở bài này mình có sữ dụng bổ đề $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

bổ đề này có thể chứng minh dễ dàng ở mức THCS bằng chứng minh tương đương


Thầy giáo tương lai




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh