Chủ đề này có 5 trả lời

[HoangHungChelski]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:
$$\sqrt{3-xy}+\sqrt{3-yz}+\sqrt{3-zx}\geq 3\sqrt{2}$$
 

[Truong Gia Bao]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:
$$\sqrt{3-xy}+\sqrt{3-yz}+\sqrt{3-zx}\geq 3\sqrt{2}$$
 

Ở phần bất đẳng thức cần chứng minh có phải là $a,b,c$ không nhỉ?

[binhnhaukhong]

Đặt $f(x,y,z)=VT-VP$.Ta sẽ chứng minh rằng: $f(x,y,z)\geq f(x,t,t)$ trong đó $t=\frac{y+z}{2}$

Có $f(x,y,z)-f(x,t,t)=\sqrt{3-yz}-\sqrt{3-\frac{(y+z)^2}{4}}-(2\sqrt{3-\frac{x(y+z)}{2}}-\sqrt{3-xy}-\sqrt{3-xz})$(1)

Ta sẽ chứng minh đc $(1)\geq \frac{3(y-z)^2}{32\sqrt{3-yz}}\geq 0$

Ở đây ta sẽ giả sử rằng $x=Min${$x,y,z$}

Vậy ta sẽ chứng minh BĐT khi $y=z$ thay:

$x=3-2y$ , và ta có $0\leq y\leq \frac{3}{2}$

Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành:

$2\sqrt{3-(3-2y)y}+\sqrt{3-y^2}\geq 3\sqrt{2}\Leftrightarrow (y-1)^2(y+1)(3y-5)\leq 0$(đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 12-04-2015 - 22:43

[nguyenhongsonk612]

Đặt $f(x,y,z)=VT-VP$.Ta sẽ chứng minh rằng: $f(x,y,z)\geq f(x,t,t)$ trong đó $t=\frac{y+z}{2}$

Có $f(x,y,z)-f(x,t,t)=\sqrt{3-yz}-\sqrt{3-\frac{(y+z)^2}{4}}-(2\sqrt{3-\frac{x(y+z)}{2}}-\sqrt{3-xy}-\sqrt{3-xz})$(1)

Ta sẽ chứng minh đc $(1)\geq \frac{3(y-z)^2}{32\sqrt{3-yz}}\geq 0$

Ở đây ta sẽ giả sử rằng $x=Min${$x,y,z$}

Vậy ta sẽ chứng minh BĐT khi $y=z$ thay:

$x=3-2y$ , và ta có $0\leq y\leq \frac{3}{2}$

Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành:

$2\sqrt{3-(3-2y)y}+\sqrt{3-y^2}\geq 3\sqrt{2}\Leftrightarrow (y-1)^2(y+1)(3y-5)\leq 0$(đúng)

Bạn làm cụ thể giúp mình bước này được không ạ? Cảm ơn ạ!

[binhnhaukhong]

Bạn làm cụ thể giúp mình bước này được không ạ? Cảm ơn ạ!

Tại hôm qua ngồi sửa mãi chả đc nên lười gõ tắt.Thực ra là nhân liên hợp thì:

$f(x,y,z)-f(x,t,t)=\frac{(y-z)^2}{2(2\sqrt{3-yz}+\sqrt{12-(y+z)^2})}-\frac{12-2x(y+z)-6+x(y+z)-2\sqrt{(3-xy)(3-xz)}}{\sqrt{12-2x(y+z)}+\sqrt{3-xy}+\sqrt{3-xz}}=(y-z)^2(\frac{1}{2(2\sqrt{3-yz}+\sqrt{12-(y+z)^2})}-\frac{x^2}{\sqrt{12-2x(y+z)}+\sqrt{3-xy}+\sqrt{3-xz})(\sqrt{3-xy}+\sqrt{3-xz})^2})\geq (y-z)^2[\frac{1}{2(2\sqrt{3-yz}+2\sqrt{3-xz})}-\frac{x^2}{2\sqrt{3-yz}+\sqrt{3-zy}+\sqrt{3-yz})(2\sqrt{2}x)^2}]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 13-04-2015 - 16:48

[binhnhaukhong]

Bài này có thể chứng minh bằng $p,q,r$ thì ngắn hơn 1 tí.Một bài khác cũng tương tự:

Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=1$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{1-2xy}+\sqrt{1-2xz}+\sqrt{1-2yz}\geq \sqrt{7}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 13-04-2015 - 17:03