Chủ đề này có 9 trả lời

[NgocHieuKHTN]

cho 3 số a,b,c dương

CMR $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ac+1}\geq \frac{3}{2}$

(a+b+c=3)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgocHieuKHTN: 01-10-2014 - 16:03

[lahantaithe99]

cho 3 số a,b,c dương

CMR $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ac+1}\geq \frac{3}{2}$

(a+b+c=3)

 

Có $Vt=\sum (a-\frac{a^2b}{ab+1})=3-\sum \frac{a^2b}{ab+1}\geqslant 3-\sum \frac{\sqrt{a^3b}}{2}$

 

Đặt $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})=(x,y,z)\rightarrow x^2+y^2+z^2=3$

 

Ta sẽ chứng minh $\sum \sqrt{a^3b}=\sum x^3y\leqslant 3=\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}\Leftrightarrow 3\sum x^3y\leqslant (x^2+y^2+z^2)^2$

 

(BĐT này đã được chứng minh tại http://diendantoanho...3aleq-a2b2c22/)

 

Do đó $Vt\geqslant 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$ (đpcm)

[hoctrocuanewton]

cho 3 số a,b,c dương

CMR $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ac+1}\geq \frac{3}{2}$

(a+b+c=3)

Dựa vào điều kiện bài toán ta có : $a+b+c=3\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow 1\geq abc$

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

 

$\sum \frac{a}{ab+1}\geq \sum \frac{a}{ab+abc}= \sum \frac{1}{b+bc}\geq \frac{9}{\sum a+\sum ab}\geq \frac{9}{\sum a+\frac{(\sum a)^{2}}{3}}= \frac{3}{2}$

 

Vậy ta được đpcm

[lahantaithe99]

Dựa vào điều kiện bài toán ta có : $a+b+c=3\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow 1\geq abc$

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

 

$\sum \frac{a}{ab+1}\geq \sum \frac{a}{ab+abc}$ $= \sum \frac{1}{b+bc}\geq \frac{9}{\sum a+\sum ab}\geq \frac{9}{\sum a+\frac{(\sum a)^{2}}{3}}= \frac{3}{2}$

 

Vậy ta được đpcm

BĐT này sai rồi anh $1\geqslant abc$ thì chỗ đó phải chuyển thành $\leqslant $ chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 01-10-2014 - 17:11

[NgocHieuKHTN]

Dựa vào điều kiện bài toán ta có : $a+b+c=3\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow 1\geq abc$

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

 

$\sum \frac{a}{ab+1}\geq \sum \frac{a}{ab+abc}= \sum \frac{1}{b+bc}\geq \frac{9}{\sum a+\sum ab}\geq \frac{9}{\sum a+\frac{(\sum a)^{2}}{3}}= \frac{3}{2}$

 

Vậy ta được đpcm

ngược dấu rồi !!

[CandyPanda]

Cách khác:

Do a+b+c=3 nên tồn tại x,y,z dương thỏa mãn: a$a=\frac{3x}{x+y+z},b=\frac{3y}{x+y+z},c=\frac{3z}{x+y+z}$

Khi đó ta có:

VT = $\sum \frac{a}{ab+1}=\sum \frac{3x(x+y+z)}{9xy+(x+y+z)^{2}}$

$=3(x+y+z)\sum \frac{x^{2}}{9x^{2}y+x(x+y+z)^{2}}\geq 3(x+y+z)\frac{(x+y+z)^{2}}{9(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)+(x+y+z)^{3}}$

$=\frac{3(x+y+z)^{3}}{9(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)+(x+y+z)^{3}}$

 

Ta sẽ chứng minh

$(x+y+z)^{3}\geq 9(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$

 

Thật vậy, do bất đẳng thức thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa x+y+z=3. Ta sẽ chứng minh $3 \geq (x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$

Ta có: 

$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq\frac{xy+y}{2}+\frac{yz+z}{2}+\frac{zx+x}{2}=\frac{xy+yz+zx+3}{2}\leq 3$

 

Vậy ta có đpcm

[lovemath99]

cho 3 số a,b,c dương

CMR $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ac+1}\geq \frac{3}{2}$

(a+b+c=3)

 

Theo Cauchy-Schwarz và AM-GM:

$\sum{\dfrac{a}{ab+1}}=\sum{\dfrac{a^2}{abc+a}}\ge \dfrac{(\sum{a})^2}{3abc+\sum {a}}\ge \dfrac{(\sum{a})^2}{3.\dfrac{(\sum{a})^3}{27}+\sum{a}}=\dfrac{3}{2}$

$\to Q.E.D$

[Lam Ba Thinh]

 

Cách khác:

Do a+b+c=3 nên tồn tại x,y,z dương thỏa mãn: a$a=\frac{3x}{x+y+z},b=\frac{3y}{x+y+z},c=\frac{3z}{x+y+z}$

Khi đó ta có:

VT = $\sum \frac{a}{ab+1}=\sum \frac{3x(x+y+z)}{9xy+(x+y+z)^{2}}$

$=3(x+y+z)\sum \frac{x^{2}}{9x^{2}y+x(x+y+z)^{2}}\geq 3(x+y+z)\frac{(x+y+z)^{2}}{9(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)+(x+y+z)^{3}}$

$=\frac{3(x+y+z)^{3}}{9(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)+(x+y+z)^{3}}$

 

Ta sẽ chứng minh

$(x+y+z)^{3}\geq 9(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$

 

Thật vậy, do bất đẳng thức thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa x+y+z=3. Ta sẽ chứng minh $3 \geq (x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$

Ta có: 

$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq\frac{xy+y}{2}+\frac{yz+z}{2}+\frac{zx+x}{2}=\frac{xy+yz+zx+3}{2}\leq 3$

 

Vậy ta có đpcm

 

 Chỗ này chứng minh sao vậy ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lam Ba Thinh: 05-10-2014 - 21:17

[CandyPanda]

 Chỗ này chứng minh sao vậy ạ?

Viết nhầm đó, cách chứng minh đó bị ngược dấu, sorry. Tại không biết nút xóa ở đâu

 

 

Theo Cauchy-Schwarz và AM-GM:

$\sum{\dfrac{a}{ab+1}}=\sum{\dfrac{a^2}{abc+a}}\ge \dfrac{(\sum{a})^2}{3abc+\sum {a}}\ge \dfrac{(\sum{a})^2}{3.\dfrac{(\sum{a})^3}{27}+\sum{a}}=\dfrac{3}{2}$

$\to Q.E.D$

Cái dấu bằng đầu tiên bị sai thì phải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CandyPanda: 05-10-2014 - 21:33

[NgocHieuKHTN]

Theo Cauchy-Schwarz và AM-GM:

$\sum{\dfrac{a}{ab+1}}=\sum{\dfrac{a^2}{abc+a}}\ge \dfrac{(\sum{a})^2}{3abc+\sum {a}}\ge \dfrac{(\sum{a})^2}{3.\dfrac{(\sum{a})^3}{27}+\sum{a}}=\dfrac{3}{2}$

$\to Q.E.D$

ở dưới mẫu ab.a=abc , sai rồi bạn ơi =)