đề thi hsg
#1
Đã gửi 02-10-2014 - 17:40
- huyentrang97, Trang Luong, nguyenhongsonk612 và 1 người khác yêu thích
Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!
#2
Đã gửi 02-10-2014 - 20:45
đề thi hsg
Câu $2b$
Hệ pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{12x^2}{9x^2+4}=y & & \\ \frac{12y^2}{9y^2+4}=z & & \\ \frac{12z^2}{9z^2+4}=x & & \end{matrix}\right.$
Ta thấy $x=y=z=0$ là nghiệm của hệ pt. Xét $xyz \neq 0$
ĐK: $x,y,z>0$
Xét hàm $f_{(t)}=\frac{12t^2}{9t^2+4}$ với $t>0$
Lấy $t_1;t_2 \in (0;+\infty )$, $t_1 \neq t_2$
Xét thương $\frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{48(t_1+t_2)}{(9t_1^2+4)(9t_2^2+4)}>0$
$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$
Hệ trên $\left\{\begin{matrix} f(x)=y & & \\ f(y)=z & & \\ f(z)=x & & \end{matrix}\right.$
Không mất tính tổng quát. Giả sử $x \geq y \geq z$. Ta có
$y\geq z\Rightarrow f(y) \geq f(z)\Leftrightarrow z\geq x \Rightarrow x=z$
$x\geq z\Rightarrow f(x)\geq f(z)\Leftrightarrow y\geq x\Rightarrow x=y$
Vậy ta có $x=y=z$
Thay vào cần giải pt $12x^2=x(4+9x^2)\Leftrightarrow 9x^2-12x+4=0\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}$ (tmđk)
Kết luận:
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm $(x;y;z)=(\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 04-10-2014 - 00:07
- hoctrocuaZel và Thao Huyen thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#3
Đã gửi 03-10-2014 - 15:37
đề thi hsg
Câu 2/a/ (Có lẽ dễ nhất, tương tự 1 bài trên TH&TT )
Ta có: $VT> 0\rightarrow VP>0\rightarrow x>-1$
$PT\Leftrightarrow 2x^2-3x+7=3.\sqrt[3]{2.2.(x+1)}\leq x+1+2+2=x+5\Leftrightarrow 2x^2-3x+7\leq x+5\Leftrightarrow 2(x-1)^2\leq 0\Leftrightarrow x=1$
- huyentrang97, nguyenhongsonk612 và Thao Huyen thích
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
#4
Đã gửi 03-10-2014 - 15:47
đề thi hsg
Câu $2b$
Hệ pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{12x^2}{9x^2+4}=y & & \\ \frac{12y^2}{9y^2+4}=z & & \\ \frac{12z^2}{9z^2+4}=x & & \end{matrix}\right.$
ĐK: $x,y,z>0$
Xét hàm $f_{(t)}=\frac{12t^2}{9t^2+4}$ với $t>0$
Lấy $t_1;t_2 \in (0;+\infty )$, $t_1 \neq t_2$
Xét thương $\frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{48(t_1+t_2)}{(9t_1^2+4)(9t_2^2+4)}>0$
$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$
Hệ trên $\left\{\begin{matrix} f(x)=y & & \\ f(y)=z & & \\ f(z)=x & & \end{matrix}\right.$
Không mất tính tổng quát. Giả sử $x \geq y \geq z$. Ta có
$y\geq z\Rightarrow f(y) \geq f(z)\Leftrightarrow z\geq x \Rightarrow x=z$
$x\geq z\Rightarrow f(x)\geq f(z)\Leftrightarrow y\geq x\Rightarrow x=y$
Vậy ta có $x=y=z$
Thay vào cần giải pt $12x^2=x(4+9x^2)\Leftrightarrow 9x^2-12x+4=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ (tmđk)
Kết luận:
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm $(x;y;z)=(\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2})$
Lời giải đúng cho câu 2/b (hongsonk612.. thiếu nghiệm và hình như nhầm...)
Dễ thấy $x=y=z=0$ là nghiệm của phương trình.
Nếu x,y,z khác 0, nên x,y,z cùng dương. Do đó, có:
$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{12x^2}{9x^2+4}=y\\ \frac{12y^2}{9y^2+4}=z\\ \frac{12z^2}{9z^2+4}=x \end{matrix}\right.\rightarrow \sum \frac{12x^2}{9x^2+4}=\sum x$
Ta có: $\sum \frac{12x^2}{9x^2+4}\leq \sum \frac{12x^2}{2.\sqrt{9x^2.4}}=\sum \frac{12x^2}{12.x}=\sum x\rightarrow VT\leq VP\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}$
- huyentrang97 và nguyenhongsonk612 thích
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
#5
Đã gửi 03-10-2014 - 18:38
Câu $2b$
Hệ pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{12x^2}{9x^2+4}=y & & \\ \frac{12y^2}{9y^2+4}=z & & \\ \frac{12z^2}{9z^2+4}=x & & \end{matrix}\right.$
ĐK: $x,y,z>0$
Xét hàm $f_{(t)}=\frac{12t^2}{9t^2+4}$ với $t>0$
Lấy $t_1;t_2 \in (0;+\infty )$, $t_1 \neq t_2$
Xét thương $\frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{48(t_1+t_2)}{(9t_1^2+4)(9t_2^2+4)}>0$
$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$
Hệ trên $\left\{\begin{matrix} f(x)=y & & \\ f(y)=z & & \\ f(z)=x & & \end{matrix}\right.$
Không mất tính tổng quát. Giả sử $x \geq y \geq z$. Ta có
$y\geq z\Rightarrow f(y) \geq f(z)\Leftrightarrow z\geq x \Rightarrow x=z$
$x\geq z\Rightarrow f(x)\geq f(z)\Leftrightarrow y\geq x\Rightarrow x=y$
Vậy ta có $x=y=z$
Thay vào cần giải pt $12x^2=x(4+9x^2)\Leftrightarrow 9x^2-12x+4=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ (tmđk)
Kết luận:
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm $(x;y;z)=(\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2})$
- nguyenhongsonk612 yêu thích
Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh