Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia trường Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2014-2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 04-10-2014 - 08:40

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia trường Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2014-2015

 

Câu 1 : Cho dãy số $\left ( x_n \right )$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,3...$

Tính giới hạn : $\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$

Câu 2: Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số thỏa mãn 

$$2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right )$$ với mọi số thực $x$

Câu 3 : Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.

Câu 4: Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh rằng : $k\geq 12$

Câu 5: Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}$

Câu 6: Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )=x^{11}-1$

Câu 7: Trong một bảng ô vuông kích thước $999 \times 999$, mỗi ô được tô bởi một trong 2 màu trắng hoặc đỏ. Gọi $T$ là số bộ $(C_1,C_2,C_3)$ các ô mà hai ô đầu trong cùng 1 hàng và hai ô cuối cùng 1 cột, với $C_1$ và $C_2$ màu trắng, $C_3$ màu đỏ.

Tìm giá trị lớn nhất của $T$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 04-10-2014 - 17:51

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#2 HungNT

HungNT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 04-10-2014 - 13:38

 

 

Câu 3 : Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.

 

untitled.PNG

Gọi I là giao điểm của OM,ED

Dễ thấy tứ giác MIFC nội tiếp $=>OF.OC=OI.OM=OD^{2}=R^{2}$

$=>OF=\frac{R^{2}}{OC}$ giá trị không đổi. Mà $O$ cố định nên  $F$ cố định 

Do $\angle IDO=\angle IDH\left ( =\angle IME \right )=>\Delta ODH$ cân vì DI vừa đường cao vừa phân giác 

$=>DO=DH$ hay DI là trung trực của OH $=>FH=FO=const$ 

Suy ra $H \in( F,\frac{R^{2}}{OC})$ cố định



#3 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 04-10-2014 - 19:05

 

Câu 2: Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số thỏa mãn 

$$2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right )\;\;\;\;(1)$$ với mọi số thực $x$

 

Câu 6: Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )=x^{11}-1$

 

Lời giải :

 

Câu 2 :

 

 Dễ chứng minh được phương trình $x^3-x-1=0$ có nghiệm duy nhất và gọi nghiệm này là $u$. Đặt $P(u)=a$. Trong $(1)$ lấy $x=u$ được :

$$2P^3(u)-3=-P(u^3-1)\Leftrightarrow 2a^3+a-3=0\;\;\;(*)$$

Đặt $P(x)=(x-u)^kQ(x)+a$ trong đó $Q(x)$ là đa thức thỏa mãn $\deg Q< \deg P$ và $Q(u)\neq 0$. Thay vào $(1)$ :

$$2\left [ (x-u)^kQ(x)+a \right ]^3-3=-\left [ (x^3-1-u)^kQ(x^3-1) +a\right ]\Leftrightarrow 2(x-u)^{3k}Q^3(x)+6a(x-u)^{2k}Q^2(x)+6a^2(x-u)^kQ(x)=-(x^3-1-u)^kQ(x^3-1)=-(x-u)^k(x^2+ux+u^2)^kQ(x^3-1)\Leftrightarrow 2(x-u)^{2k}Q^3(x)+6a(x-u)^kQ^2(x)+6a^2Q(x)=-(x^2+ux+u^2)^kQ(x^3-1)\;\;\;(2)$$

Trong $(2)$ ta lại cho $x=u$ :

$$6a^2Q(u)=-(3u^2)^kQ(u^3-1)=(-3u^2)^kQ(u)$$

Rõ ràng là từ $(*)$ có $a=1$, nên phải có :

$$6=6a^2\neq (-3u^2)^k$$

Ta suy ra $Q(u)=0$. Mâu thuẫn với cách đặt $P(x)$. Như vậy $P(x)$ là đa thức hằng và suy ra được :

$$P(x)\equiv a=1$$

 

Câu 6 : 

 

Bổ đề :

Với $m,x$ nguyên dương và $p$ nguyên tố thỏa $m\mid \dfrac{x^p-1}{x-1}$ thì ta luôn có $m\equiv 0,1\;\pmod p$.

 

Khi đó quay trở lại với bài toán, nhận thấy $(1,y)$ là nghiệm của phương trình, xét $x\neq 1$, ta viết phương trình đã cho thành :

$$\dfrac{x^{11}-1}{x-1}=y^5+y^2-2y=y(y-1)(y^2+y+2)$$

Theo bổ đề thì :

$$\left\{\begin{matrix} y\equiv 0,1\;\pmod {11}\;\;(1)\\ y-1\equiv 0,1\;\pmod {11}\;\;\;(2)\\ y^2+y+2\equiv 0,1\;\pmod {11}\;\;(3) \end{matrix}\right.$$

Từ $(1)(2)$ suy ra $y\equiv 1\;\pmod {11}$. Nhưng từ đó lại suy ra :

$$y^2+y+2\equiv 4\;\pmod {11}$$

Mâu thuẫn với $(3)$. 

Phương trình có nghiệm $(x,y)=(1,k)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 04-10-2014 - 21:46

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#4 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT A Hải Hậu

Đã gửi 04-10-2014 - 19:38


Câu 4: Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh rằng : $k\geq 12$

Ta sẽ xét bài toán tổng quát là IMO 1998 với $a$ thí sinh và $b$ giám khảo b lẻ  $(b\geq 3)$ Ta cần cm :$\frac{k}{a}\geq \frac{b-1}{2b}$

Ý tưởng là đếm bằng 2 cách

Gọi N là số bộ 3 (giám khảo,giám khảo,học sinh) sao cho:

+,2 giám khảo đó là khác nhau

+,2 giám khảo đó cùng đánh giá đậu hoặc rớt cho thí sinh trong bộ 3

Có $\frac{b(b-1)}{2}$ cách chọn bộ 2 giám khảo

Vì mỗi bộ giám khảo có  kết luận giống nhau cho nhiều nhất là k thí sinh nên $N\leq \frac{kb(b-1)}{2}$(1)

Bây giờ ta xét cố định 1 thí sinh X và tính số cặp giám khảo cùng đánh giá cho X

Giả sử có x giám khảo kết luận đậu$\Rightarrow$ có $\frac{x(x-1)}{2}$ cặp giám khảo đánh giá X đậu

Có b-x số giám khảo KL X rớt $\Rightarrow$ có $\frac{(b-x)(b-x-1)}{2}$ cặp giám khảo đánh giá X rớt

Do đó có $\frac{x(x-1)}{2}+\frac{(b-x)(b-x-1)}{2}$ cặp giám khảo đánh giá X

$\Rightarrow N=a\left [ \frac{x(x-1)}{2}+\frac{(x-b)(x-b+1)}{2} \right ](2)$

Từ (1) và (2) kết hợp với $\frac{x^{2}-x}{2}+\frac{b^{2}-2bx+x^{2}-b+x}{2}\geq \frac{2x^{2}-2bx+b^{2}-b}{2}\geq \frac{2(x-\frac{b}{2})^{2}+\frac{b^{2}}{2}-b}{2}\geq \frac{b^{2}}{4}-\frac{b}{2}= \frac{(b-1)^{2}}{4}-\frac{1}{4}$ và do $b$ lẻ $\Rightarrow \frac{(b-1)^{2}}{4}$ nguyên

$\frac{k}{a}\geq \frac{b-1}{2b}$(đpcm)
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 04-10-2014 - 23:12


#5 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT A Hải Hậu

Đã gửi 04-10-2014 - 19:52

 

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia trường Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2014-2015

 

Câu 1 : Cho dãy số $\left ( x_n \right )$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,3...$

Tính giới hạn : $\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$

 

Đặt $a_{n}=(n+1)x_{n}\Rightarrow a_{1}=2$

Khi đó $a_{n+1}=a_{n}+n^{4}+2n^{3}$

Dễ dàng cm được dãy $(a_{n})$ tăng và có $lima_{n}=$ dương vô cùng

$\frac{\sqrt[3]{x_{n}}}{n+1}=\sqrt[3]{\frac{a_{n}}{(n+1)^{4}}}$

Ta có $lim\frac{a_{n+1}-a_{n}}{(n+2)^{4}-(n+1)^{4}}=lim\frac{n^{4}+2n^{3}}{(2n+3)(2n^{2}+6n+5)}=$dương vô cùng

Theo định lý Stolz có $lim\frac{a_{n}}{(n+1)^{4}}=$dương vô cùng $lim\frac{\sqrt[3]{x_{n}}}{n+1}=$dương vô cùng



#6 nntien

nntien

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 366 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phan Thiết, Bình Thuận.
  • Sở thích:mê Toán sơ cấp (ĐT: 01234533861)

Đã gửi 05-10-2014 - 07:19

Đặt $a_{n}=(n+1)x_{n}\Rightarrow a_{1}=2$

Khi đó $a_{n+1}=a_{n}+n^{4}+2n^{3}$

Dễ dàng cm được dãy $(a_{n})$ tăng và có $lima_{n}=$ dương vô cùng

$\frac{\sqrt[3]{x_{n}}}{n+1}=\sqrt[3]{\frac{a_{n}}{(n+1)^{4}}}$

Ta có $lim\frac{a_{n+1}-a_{n}}{(n+2)^{4}-(n+1)^{4}}=lim\frac{n^{4}+2n^{3}}{(2n+3)(2n^{2}+6n+5)}=$dương vô cùng

Theo định lý Stolz có $lim\frac{a_{n}}{(n+1)^{4}}=$dương vô cùng $lim\frac{\sqrt[3]{x_{n}}}{n+1}=$dương vô cùng

 

Chỉnh lại một chút: $a_{n+1}=a_{n}+n^3+2n^2$ và cuối cùng ta tính được: $lim\frac{\sqrt[3]{x_n}}{n+1}=\sqrt[3]{1/4}$

 

Chú ý: có thể ta không sử dụng định lý Stolz bằng cách chứng minh: $a_n=\frac{3n^4+2n^3-9n^2+4n+12}{12}$, từ đó suy ra kết quả


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 05-10-2014 - 07:48

$Maths$$Smart Home$ and $Penjing$

123 Phạm Thị Ngư


#7 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 05-10-2014 - 08:00

 

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia trường Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2014-2015

 

Câu 5: Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}$

 

    Ta sẽ CM :$M\leq 1$

Ta có $2(1-xy-xz+yz)=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz=(x-y-z)^2\geq 0$

 

$= > x^2+yz+x+1=x(x+y+z+1)+(1-xy-xz+yz)\geq x(x+y+z+1)= > \frac{x^2}{x^2+yz+x+1}\leq \frac{x^2}{x(x+y+z+1)}=\frac{x}{x+y+z+1}$

 

$= > M\leq \frac{x}{x+y+z+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}=1-\frac{1}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\leq 1< = > \frac{1}{x+y+z+1}\geq \frac{1}{xyz+3}< = > xyz+2\geq x+y+z$

 

 Theo bđt Bunhiacopxki có $\left [ x+y+z-xyz \right ]^2=\left [ x(1-yz)+(y+z) \right ]^2\leq (x^2+(y+z)^2)((1-yz)^2+1^2)=(2+2yz)(y^2z^2-2yz+2)\leq 4< = > (yz)^2(yz-1)\leq 0< = > yz\leq 1$ 

 

Nhưng bđt đúng vì $2=x^2+y^2+z^2\geq y^2+z^2\geq 2yz= > yz\leq 1$

 

   Do đó ta có ĐPCM .Dấu = xảy ra khi $x=0,y=z=1$



#8 happyfree

happyfree

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-10-2014 - 20:26

dễ c/m:$\overline{OH}.\overline{OM}=2\overline{OI}.\overline{OM}=2R^{2}$

suy ra $N_{(O;2R^{2})}:M\rightarrow H; d\rightarrow (C)$ qua O suy ra $H \in (C)$ cố định :D



#9 Hoathuy21990

Hoathuy21990

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 11-10-2014 - 15:10

    Ta sẽ CM :$M\leq 1$

Ta có $2(1-xy-xz+yz)=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz=(x-y-z)^2\geq 0$

 

$= > x^2+yz+x+1=x(x+y+z+1)+(1-xy-xz+yz)\geq x(x+y+z+1)= > \frac{x^2}{x^2+yz+x+1}\leq \frac{x^2}{x(x+y+z+1)}=\frac{x}{x+y+z+1}$

 

$= > M\leq \frac{x}{x+y+z+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}=1-\frac{1}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\leq 1< = > \frac{1}{x+y+z+1}\geq \frac{1}{xyz+3}< = > xyz+2\geq x+y+z$

 

 Theo bđt Bunhiacopxki có $\left [ x+y+z-xyz \right ]^2=\left [ x(1-yz)+(y+z) \right ]^2\leq (x^2+(y+z)^2)((1-yz)^2+1^2)=(2+2yz)(y^2z^2-2yz+2)\leq 4< = > (yz)^2(yz-1)\leq 0< = > yz\leq 1$ 

 

Nhưng bđt đúng vì $2=x^2+y^2+z^2\geq y^2+z^2\geq 2yz= > yz\leq 1$

 

   Do đó ta có ĐPCM .Dấu = xảy ra khi $x=0,y=z=1$

Bài này gần giống trong đề thi đại học khối a 2014.Mình dùng đạo hàm thấy lời giải ngắn gọn hơn



#10 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 24-06-2015 - 22:50

 

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia trường Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2014-2015

 

Câu 1 : Cho dãy số $\left ( x_n \right )$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,3...$

Tính giới hạn : $\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$

Câu 2: Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số thỏa mãn 

$$2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right )$$ với mọi số thực $x$

Câu 3 : Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.

Câu 4: Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh rằng : $k\geq 12$

Câu 5: Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}$

Câu 6: Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )=x^{11}-1$

Câu 7: Trong một bảng ô vuông kích thước $999 \times 999$, mỗi ô được tô bởi một trong 2 màu trắng hoặc đỏ. Gọi $T$ là số bộ $(C_1,C_2,C_3)$ các ô mà hai ô đầu trong cùng 1 hàng và hai ô cuối cùng 1 cột, với $C_1$ và $C_2$ màu trắng, $C_3$ màu đỏ.

Tìm giá trị lớn nhất của $T$

 

câu 2: đa thức này hệ số thực hay phức thế


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 24-06-2015 - 22:51


#11 k30101201

k30101201

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
  • Sở thích:Mathematic - Latex - Linux

Đã gửi 25-08-2015 - 16:01

Có thành viên nào giải được bài số 7 không? Post cho mình tham khảo với...


Tri thức là nền tảng cho mọi thành công của bạn!

#12 toanhoc2017

toanhoc2017

    Trung úy

  • Thành viên
  • 849 Bài viết

Đã gửi 17-02-2020 - 14:19

KHÔ






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh