Chủ đề này có 1 trả lời

[viet14042000]

Cho hai phương trình:

x² + px + 1 = 0 và x² + qx + 2 = 0

Tìm số thực p,q để phương trình có

a) nghiệm chung

b) IpI +IqI đạt giá trị nhỏ nhất 

[HungNT]

Chắc bài này yêu cầu kết hợp 2 điều kiện a/,b/

Điều kiện để 2 PT có nghiệm: $\Delta \geq 0$ hay $\begin{bmatrix} p\geq 2\\ p\leq -2 \end{bmatrix}$ và $\begin{bmatrix} q\geq 2\sqrt{2}\\ q\leq -2\sqrt{2} \end{bmatrix}$ (1)

Gọi $t$ là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có $\left\{\begin{matrix} t^{2}+tp+1=0\\ t^{2}+tq+2=0 \end{matrix}\right.=>t\left ( p-q \right )-1=0=>p-q=\frac{1}{t}$

Giải PT 1, tìm $t$ theo $p$ : $t=\frac{-p\pm \sqrt{p^{2}-4}}{2}$$=>q=p-\frac{2}{-p\pm \sqrt{p^{2}-4}}$

Kết hợp với (1) $q \in(-\infty;-2\sqrt{2} ]\cup \left [2;+\infty \right )$

+) Với $=p-\frac{2}{\sqrt{p^{2}-4}-p}=\frac{3p+\sqrt{p^{2}-4}}{2}$

Nếu $p \geq 2$ thì $q\geq 3$ (TM)

Nếu $p \leq -2$ , ta phải CM $3p+\sqrt{p^{2}-4} \leq -4\sqrt{2}$ hay $3p+4\sqrt{2}\leq -\sqrt{p^{2}-4}$ (cái này để dành cho bạn)

Luôn đúng $\forall p$

+) Với $q=p-\frac{2}{-p-\sqrt{p^{2}-4}}=\frac{3p-\sqrt{p^{2}-4}}{2}$ cũng tương tự như trên, tm với $p\in (-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$

Như vậy tìm được q theo p : $q=\frac{3p\pm \sqrt{p^{2}-4}}{2}$

Suy ra $|p|+|q|=p+\frac{3p+\sqrt{p^{2}-4}}{2}=\frac{5p+\sqrt{p^{2}-4}}{2}$

Xét $|p|\in [2;+\infty )$ thì $|p|+|q|~min=5<=>|p|=2,~|q|=3$

Vậy $p=2,~q=3$ hoặc $p=-2,~q=-3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 04-10-2014 - 17:52