Chủ đề này có 7 trả lời

[fifa]

Bài 1:

Chứng minh tồn tại vô hạn các số $n\in \mathbb{N}^*$ sao cho:

$2^n+1\vdots n$

 

Bài 2:

Chứng minh rằng luôn tìm được một số tự nhiên gồm $2014$ chữ số $1$ và $2$ sao cho số đó chia hết cho $2^{2014}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fifa: 04-10-2014 - 15:54

[mnguyen99]

Bài 1:

Chứng minh tồn tại vô hạn các số $n\in \mathbb{N}^*$ sao cho:

$2^n+1\vdots n$

 

Bài 2:

Chứng minh rằng luôn tìm được một số tự nhiên gồm $2014$ chữ số $1$ và $2$ sao cho số đó chia hết cho $2^{2014}$.

BÀi 1

Gợi ý: CM quy nạp $n=3^{k}$ thỏa mãn đề bài

Bài 2:

TA viết ra tổng cọng  $2^{2014}$ số gồm chữ số 2 và 3 và số gòm 2014 chữ số 1.

Ở 2 nhóm ta luôn tìm được 2 số có cùng số dư khi chia cho $2^{2014}$.HIệu của 2 số đó gòm 2014 chữ số 1 và 2.

[fifa]

BÀi 1

Gợi ý: CM quy nạp $n=3^{k}$ thỏa mãn đề bài

 

Bạn ơi làm sao tìm được $n=3^k$ vậy?

[mnguyen99]

Bạn ơi làm sao tìm được $n=3^k$ vậy?

cái này mò thôi

[fifa]

cái này mò thôi

Nhưng phải có cơ sở thì mới mò được chứ bạn?

[CandyPanda]

Bài 1: Ta sẽ chứng minh với $n=3^{k}$ thì đúng

Với n=3 đúng

Giả sử đúng với $n=3^{k}$, ta sẽ chứng minh đúng với $n=3^{k+1}$

Thật vậy, ta có:

$2^{3^{k+1}}+1=(2^{3^{k}})^{3}+1=(2^{3^{k+1}}+1)((2^{3^{k+1}})^{2}-2^{3^{k+1}}+1)=(2^{3^{k+1}}+1)((2^{3^{k+1}})^{2}-2^{3^{k+1}}+1)=(2^{3^{k+1}}+1)((2^{3^{k+1}}+1)(2^{3^{k+1}}-2)+3)\vdots 3^{k+1}$

Vậy theo quy nạp ta có đpcm

[CandyPanda]

Bài 2: Chứng minh bài toán tổng quát: Luôn tìm được một số tự nhiên có n chữ số, chỉ gồm chữ số 1 và 2, và chia hết cho $2^{n}$

Với n=1 đúng

Giả sử đúng với n=k, ta sẽ chứng minh đúng với n=k+1

Thật vậy:

Đặt số có k chữ số, chỉ gồm chữ số 1 và 2, và chia hết cho $2^{k}$ là S(k)

Nếu S(k) chia hết cho $2^{k+1}$, viết thêm chữ số 2 vào đằng trước

Nếu S(k) chia hết cho $2^{k}$ nhưng không chia hết cho $2^{k+1}$, viết thêm số 1 vào trước

Trong cả 2 trường hợp ta đều chứng minh được S(k+1) chia hết cho $2^{k+1}$ và số S(k+1) chỉ gồm các chữ số 1 và 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CandyPanda: 07-10-2014 - 18:38

[duongminhtrung]

Bài 1 nên đổi đề là tìm n sẽ hay hơn,kết quả vẫn ra 3^k,cách làm là dùng cấp