Chủ đề này có 1 trả lời

[fifa]

Tìm các số tự nhiên $n$ sao cho $n$ chia hết cho mọi số tự nhiên không vượt quá $\sqrt{n}$

[Kool LL]

Tìm các số tự nhiên $n$ sao cho $n$ chia hết cho mọi số tự nhiên không vượt quá $\sqrt{n}$

 

Ta có $k^2\le n<(k+1)^2$ $\overset{(gt)}{\Rightarrow}n\ \vdots\ 1\ ;\ ...;\ k$ (*)

$\Rightarrow n=k.q$$\Rightarrow k\le q<k+2+\frac{1}{k}$$\Rightarrow q\in\{k;\ k+1\ k+2\}$ $\Rightarrow n=k^2$ hoặc $n=k(k+1)$ hoặc $n=k(k+2)$

 

$\boxed{}$ Với $n=k^2$ :

* $k=1$ thì $n=1$ thoả (*)

* $k\ge2$ thì (*) $\Rightarrow (k+1)(k-1)+1=k^2\ vdots\ (k-1)\Rightarrow 1\ \vdots\ (k-1)$$\Rightarrow k-1=1$$\Rightarrow k=2$$\Rightarrow n=4$. Kiểm tra thấy thoả.

$\boxed{}$ Với $n=k(k+1)$ :

* $k=1$ thì $n=2$ thoả (*)

* $k\ge2$ thì $(k+2)(k-1)+2=k(k+1)\ \vdots\ (k-1)$$\Rightarrow 2\ vdots\ (k-1)$$\Rightarrow k-1=1;2$$\Rightarrow k=2;3$$\Rightarrow n=6;12$. Kiểm tra thấy thoả.

$\boxed{}$ Với $n=k(k+2)$ :

* $k=1$ thì $n=3$ thoả (*)

* $k\ge2$ thì (*) $\Rightarrow (k+3)(k-1)+3=k(k+2)\ \vdots\ (k-1)\Rightarrow 3\ \vdots\ (k-1)\Rightarrow k-1=1;3=$$\Rightarrow k=2;4$$\Rightarrow n=8;24$. Kiểm tra thấy thoả.

 

Vậy tất cả các số $n$ cần tìm là $\{1;2;3;4;6;8;12;24\}$