Chủ đề này có 2 trả lời

[mnguyen99]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương 

                                $x^{a+b}=a^{b}.b$                                        (Iran 98)

[vta00]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương 

                                $x^{a+b}=a^{b}.b$                                        (Iran 98)

$x= 1\Rightarrow a= b= 1$  $x> 1$$\Rightarrow$$x=\coprod_{i=1}^{n}p_{i}^{\gamma _{i}}$,$a=\coprod_{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}$,$b= \coprod_{i=1}^{n}p_{i}^{\beta _{i}}$,với $p_{i}$ là các ước nguyên tố khác nhau của $x$,$\gamma _{i},\alpha _{i},\beta _{i}$ là các số nguyên không âm, theo giả thiết ta có $\gamma _{i}(a+b)=\alpha _{i}b+\beta _{i}$.Nếu $\beta _{i}=0$ thì $b$ không chia hết cho $p_{i}$ suy ra $\alpha i-\gamma i \vdots p_{i}^{\alpha _{}i}$ vô lí vì vế phải lớn hơn vế trái

Nếu $p_{i}^{\beta _{i}}$ không chia hết $\beta _{i}$ thì $p_{i}^{\beta _{i}}$ không chia hết cho $a$ suy ra $\alpha _{i}<\beta _{i}$ nên a chia hết cho b.Do đó tồn tại 1 số nguyên không âm c thỏa mãn $b=c^{a}$.

Có biểu diễn $\frac{x}{a}=\frac{p}{q}$ được viết trong dạng tối giản.Phương trình đầu tương đương $x^{a}p^{b}=bq^{b}$ do đó $p^{b}$ phải thuôc ước của b hay p phải bằng 1.Từ đây suy ra a chia hết cho x,nếu x khác a thì tồn tại $\alpha _{i}\geq \gamma _{i}+1$ suy ra$\gamma_i(a+b) = \beta_i + b \alpha_i \geq (\gamma_i +1) b$ suy ra $\gamma _{i}a> b$ mà do $a> \gamma _{i}$ nên $a^2 > b = c^a,$ suy ra $\sqrt c < a^{1/a};$,mà $a^{1/a} < \sqrt 2$ với $a\geq 5$ suy ra $c=2,a=3,b=8$ vô lí.Vậy $x=a$ thì $b=x^{x}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vta00: 22-08-2015 - 22:36

[duythanbg]

đây là đề thi của Ấn Độ năm 98 hay 97 gì đó.