Chủ đề này có 5 trả lời

[buiminhhieu]

Cho a,b,c,d là các số thực thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=1 & \\ c-d=3& \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng:

$ac+bd-cd\leq \frac{9+6\sqrt{2}}{4}$

cách của mik chày cối lắm

[caybutbixanh]

Cho a,b,c,d là các số thực thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=1 & \\ c-d=3& \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng:

$ac+bd-cd\leq \frac{9+6\sqrt{2}}{4}$

cách của mik chày cối lắm

Áp dụng C-S, ta có :

$ac+bd-cd\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2}).(c^{2}+d^{2})}-cd=\sqrt{c^{2}+d^{2}}-cd=\sqrt{2d^{2}+6d+9}-d^{2}-3d=A$

 

Xét hàm số :

$f(x)=-x^{2}+3x+\sqrt{2x^{2}+6x+9};\\$

 

$f'(x)=-(2x+3)+\dfrac{2x+3}{\sqrt{2x^{2}+6x+9}};\\$

 

$f'(x)=0\Leftrightarrow x_{0}=\frac{-3}{2};$

 

Khi qua $x_{0}$ thì $f(x)$ đổi dấu từ (+) sang (-) nên $f(x) \leq f(x_{0});$

 

Suy ra :$A \leq f(x_{0})=\frac{9+6\sqrt{2}}{4};(dpcm)$

 

Dấu bằng xảy ra khi $d=\frac{-3}{2};c=\frac{3}{2};a=\frac{1}{\sqrt{2}};b=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

(a,b có thể hoán vị cho nhau ).

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[phan huong]

 

Áp dụng C-S, ta có :

$ac+bd-cd\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2}).(c^{2}+d^{2})}-cd=\sqrt{c^{2}+d^{2}}-cd=\sqrt{2d^{2}+6d+9}-d^{2}-3d=A$

 

Xét hàm số :

$f(x)=-x^{2}+3x+\sqrt{2x^{2}+6x+9};\\$

 

$f'(x)=-(2x+3)+\dfrac{2x+3}{\sqrt{2x^{2}+6x+9}};\\$

 

$f'(x)=0\Leftrightarrow x_{0}=\frac{-3}{2};$

 

Khi qua $x_{0}$ thì $f(x)$ đổi dấu từ (+) sang (-) nên $f(x) \leq f(x_{0});$

 

Suy ra :$A \leq f(x_{0})=\frac{9+6\sqrt{2}}{4};(dpcm)$

 

Dấu bằng xảy ra khi $d=\frac{-3}{2};c=\frac{3}{2};a=\frac{1}{\sqrt{2}};b=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

(a,b có thể hoán vị cho nhau ).

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Nếu mình đặt d² + 3d = x. Sau đó xét hàm f(x) =$\sqrt{2x+9}-x$ và làm như trên thì mình lại ra là x= -4 sau đó thay vào tìm d thì lại ra vô nghiệm .Bạn có thể giải thích vì sao không?. Mình thấy cách này cũng không có điểm nào sai cả

[caybutbixanh]

Nếu mình đặt d² + 3d = x. Sau đó xét hàm f(x) =$\sqrt{2x+9}-x$ và làm như trên thì mình lại ra là x= -4 sau đó thay vào tìm d thì lại ra vô nghiệm .Bạn có thể giải thích vì sao không?. Mình thấy cách này cũng không có điểm nào sai cả

Trước hết mình cho rằng vấn đề là ở chỗ tập xác định của biến , cụ thể ở bài làm của mình thì giá trị của $x$ lấy từ tập số thực R, còn ở cách đặt của bạn đã vô tình giảm khoảng giá trị đó xuống, thành ra chỉ có thể lấy các giá trị $x \geq \frac{-9}{2}$..Hay nói cách khác, khi đặt $x= d^{2} +3d$ bạn phải có điều kiện của $x$ bởi phải có xác định miền giá trị mới có thể dùng phép tính đạo hàm....

[phan huong]

Trước hết mình cho rằng vấn đề là ở chỗ tập xác định của biến , cụ thể ở bài làm của mình thì giá trị của $x$ lấy từ tập số thực R, còn ở cách đặt của bạn đã vô tình giảm khoảng giá trị đó xuống, thành ra chỉ có thể lấy các giá trị $x \geq \frac{-9}{2}$..Hay nói cách khác, khi đặt $x= d^{2} +3d$ bạn phải có điều kiện của $x$ bởi phải có xác định miền giá trị mới có thể dùng phép tính đạo hàm....

ok. Mình hiểu rồi. đúng là thiếu điều kiện của x.

[Hoathuy21990]

Mình có thể dùng đạo hàm khảo sát lần lượt biến c hoặc d sau đó dùng phép lượng giác hóa