Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$$0\leq ab+bc+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-10-2014 - 22:27

Bài toán : Cho $a,b,c \geq 0$ và a+b+c=1 .

 

Chứng minh rằng :$$0\leq ab+bc+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 04-10-2014 - 22:30

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#2 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Phương trình, hệ phương trình,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 04-10-2014 - 22:47

 

Bài toán : Cho $a,b,c \geq 0$ và a+b+c=1 .

 

Chứng minh rằng :$$0\leq P=ab+bc+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$$

 

Áp dụng bất đẳng thức phụ sau:$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)$$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)$ từ đó có 

$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$

<=>$abc\geq (1-2a)(1-2b)(1-2c)$

<=>$9abc\geq 4ab+4bc+4ac-1$

Ta có:$9P=9(ab+bc+ac)-2.9abc=>9P\leq 9(ab+bc+ac)-2(4ab+bc+ac-1)<=>9P\leq ab+bc+ac+2\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}=>P\leq \frac{7}{27}$ (Mình đặt thêm P là bất đẳng thức phải chứng minh ở đề bài nhé)

Ta có:$P=(ab+bc+ac)(a+b+c)-2abc=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+abc$

mà từ giả thiết $a,b,c\geq 0=>P\geq 0$

=>Bài toán được chứng minh.

 

Khi làm bài toán xuất hiện tích $abc$ bạn nên dùng bất đẳng thức phụ trên là bất đẳng thức schur!


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#3 phan huong

phan huong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:những điều mình thấy thú vị

Đã gửi 04-10-2014 - 23:02

 

Bài toán : Cho $a,b,c \geq 0$ và a+b+c=1 .

 

Chứng minh rằng :$$0\leq ab+bc+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$$

 

Đây là bài tập trong đề thi chọn đội tuyển Bình Thuận 11-12

Từ giả thiết x + y + z =1 và $x,y,z \geq 0$$0\leq x, y, z\leq 1$. Vậy xy + yz +xz - 2xyz= xy(1-z) + zx(1-y) + yz $\geq$0

Không làm mất tính tổng quát của bài toán , giả sử $x\leq y\leq z$, ta có

3x$\leq x + y + z\leq 3z$ nên $x\leq \frac{1}{3},z\geq \frac{1}{3},y< \frac{1}{2}$

Ta có xz$\frac{1}{3}(x+ z -\frac{1}{3})+(x-\frac{1}{3})(z-\frac{1}{3})$

Mà$(x-\frac{1}{3})(z-\frac{1}{3})\leq 0 => xz\leq \frac{1}{3}(x +z -\frac{1}{3})=\frac{1}{3}(\frac{2}{3}-y)$

Mặt khác xy + yz +zx -2xyz =(x+z)y + xz(1 - 2y)$\leq (1-y)y +\frac{1}{3}(\frac{2}{3}-y)(1-2y)=\frac{2}{9}+\frac{2}{9}y-\frac{y^{2}}{3}=\frac{7}{27}-\frac{1}{3}(y-\frac{1}{3})^{2}\leq \frac{7}{27}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phan huong: 04-10-2014 - 23:09


#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1749 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 24-12-2017 - 10:16

Cách này thì sao:

"Từ gt ta có: 0<= x,y,z<= 1

Suy ra xy+ yz+ zx- 2xyz= xy+ yz(1- x)+ zx(1- y)>=0

Mặt khác từ giả thiết và bất đẳng thức AM-GM (Cauchy ) ta được:$\mathit{yz\leq \frac{(y+z)^{2}}{4}}= \frac{(1-x)^{2}}{4}$

Ta cần chứng minh: xy+ yz+ zx- 2xyz<= 7/27

Suy ra: f( yz)=(1- 2x)yz+ x(1- x)-7/27<=0

Nếu x=0,5 thì f( yz)= -1/108<0  (đúng)

Nếu x khác 0,5 thì f( yz) là hs bậc I: f( yz)<= 0 dẫn đến

f( x)<= 0 và $f\left ( \frac{(1- x)^{2})}{4} \right )\leq 0$

Thật vâỵ

$f\left ( 0 \right )= x\left ( 1-x \right )-\frac{7}{27}= -\left ( x-0,5 \right )^{2}-\frac{1}{108}\leq 0$

$f\left ( \frac{(1-x)^{2})}{4} \right )\doteq (1-2x) \frac{\left ( 1-x \right )^{2}}{4}+ x\left ( 1- x \right )- \frac{7}{27} =\frac{-1}{108}\left ( 6x+1 \right )(3x- 1)^{2}\leq 0$(do 0<= x <=1)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 24-12-2017 - 10:18

20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#5 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1749 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 24-12-2017 - 10:21

Cách này sử dụng tính chất đồng biến nghịch biến của hàm số bậc nhất ở lớp 9 anh mới học năm ngoái. Tuy hơi rườm rà và không đẹp mắt nhưng dễ làm hơn cách cách trên. Sẵn tiện đồng biến nghịch biến còn có thể dùng trong giải hệ mà anh lại chuyên về cái này. Sau này nhớ post thêm vài bài bất đẳng thức nữa nha.


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh