Chủ đề này có 3 trả lời

[khavanloi]

Mọi người giúp mình bài này với:

Cho 3 số thực dương a, b,c và a+b+c=8. Tìm GTNN của biểu thức:

$P= \sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{b^2-b+1}+\sqrt{c^2-c+1}$

[hoctrocuaZel]

Mọi người giúp mình bài này với:

Cho 3 số thực dương a, b,c và a+b+c=8. Tìm GTNN của biểu thức:

$P= \sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{b^2-b+1}+\sqrt{c^2-c+1}$

$P=\sum \sqrt{(a-\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\geq \sqrt{a+b+c-\frac{3}{2}^2+(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}=7$ (dùng BĐT minicopski)

Dấu "=": $a=b=c=\frac{8}{3}$

[khanghaxuan]

Bài này mình dùng chia khoảng giá trị ( Nếu có sai sót thì xin các anh  chị chỉ bảo ạ )

ta xét : 

1. Nếu $a<\frac{8}{5}\leq \frac{8}{3}\Rightarrow b+c\geq \frac{16}{3}\Rightarrow b\geq \frac{8}{3}$

Tới đây ta xét khoảng giá trị của c

a.Nếu $c<\frac{8}{5}\leq \frac{8}{3}\Rightarrow (c-\frac{8}{5})(c-\frac{8}{3})\geq 0 \Rightarrow \sqrt{c^{2}-c+1}\geq \frac{7}{8}c$

mà $a<\frac{8}{5}\leq \frac{8}{3} \Rightarrow \sqrt{a^{2}-a+1}\geq \frac{7}{8}a$

lại có $b\geq \frac{8}{3}\Rightarrow \sqrt{b^{2}-b+1}\geq \frac{7}{8}b$

Từ đó ta suy ra $VT\geq 7$

b.Nếu $\frac{8}{5}\leq c\leq \frac{8}{3} , \frac{8}{5}\leq a\leq \frac{8}{3} \Rightarrow vô lý$

Vậy từ đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{8}{3}$ 

[KietLW9]

Xét bất đẳng thức phụ: $\sqrt{a^2-a+1}\geqslant \frac{13a-2}{14}$ 

$\Leftrightarrow \frac{3(3a-8)^2}{196(a^2-a+1)}\geqslant 0$ 

Áp dụng, ta được: $VT\geqslant \frac{13(a+b+c)-6}{14}=7$ 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{8}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 03-04-2021 - 11:07