Chủ đề này có 2 trả lời

[fifa]

Chứng minh rằng tồn tại vô số các số $n\in \mathbb{N}^*$ sao cho:

$a^n-1\vdots n$ với $a\in \mathbb{N}^*,a>2$ cho trước.

[duongminhtrung]

n có dạng x^k với x là ước nguyên tố của a-1

[Kool LL]

Chứng minh rằng tồn tại vô số các số $n\in \mathbb{N}^*$ sao cho:

$a^n-1\vdots n$ với $a\in \mathbb{N}^*,a>2$ cho trước.

 

Bổ đề : $\boxed{\text{Nếu SNT }p|(a-1)\text{ thì }a^{p^k}-1\ \vdots\ p^k\ ,\ \forall k}$

 

Ta sẽ cm bổ đề bằng quy nạp theo $k$.

* $k=1$ : $a^p-1=(a^p-a)+(a-1)\ \vdots\ p$ (Đúng do gt và định lý Fermat nhỏ)

* G/s đúng đến $k$, tức là ta có $a^{p^k}-1\ \vdots\ p^k$

* Xét với $k+1$ :

$a^{p^{k+1}}-1=(a^{p^k})^p-1=\left(a^{p^k}-1\right)\underset{A}{\underbrace{\left[\left(a^{p^k}\right)^{p-1}+\left(a^{p^k}\right)^{p-2}+...+\left(a^{p^k}\right)^{1}+1\right]}}$

Mà $\left(a^{p^k}\right)^{\alpha}-1\ \vdots\ a^{p^k}-1\ \vdots\ p\ ,\ \forall\alpha$

Nên $A=\left[\left(a^{p^k}\right)^{p-1}-1\right]+\left[\left(a^{p^k}\right)^{p-2}-1\right]+...+\left[\left(a^{p^k}\right)^{1}-1\right]+p\ \vdots\ p$

Suy ra $a^{p^{k+1}}-1\ \vdots\ p^k.p=p^{k+1}$

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.

 

Từ bổ đề, ta thấy có vô số $n=p^k\ (\forall k)$ với $p$ là ước nguyên tố của $(a-1)$ sao cho $a^n-1\ \vdots\ n$