Cho tam giác nhọc ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Cm : B, C, D, E cùng thuộc đường tròn tâm I và HB.HD = HC.HE
Ta có CE là đường cao $\Rightarrow \widehat{BCE}=90^{o}$
BD là đường cao $\Rightarrow \widehat{BDC}=90^{o}$
$\Rightarrow \widehat{BED}=\widehat{BDC}$
Xét tứ giác $BEDC$ có
$\widehat{BED}=\widehat{BDC}$
Vậy $BEDC$ nội tiếp ( tứ giác có 2 góc cùng nhìn 1 cung dưới các góc bằng nhau)
$\Rightarrow B, E, D, C$ cùng thuộc đường tròn
Ta có $BEDC nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{EDB}=\widehat{ECB}$ ( góc nội tiếp cùng chắn cung EB)
Xét $\Delta EDH$ và $\Delta BHC$ có
$\widehat{EDH}=\widehat{HCB}$ (chứng minh trên)
$\widehat{EHD}=\widehat{BHC}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow \Delta EDH\sim \Delta BCH$
$\Rightarrow \frac{HD}{HE}=\frac{HC}{HB}$
$\Rightarrow HB.HD=HC.HE$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangnghia: 05-10-2014 - 19:02