Chủ đề này có 5 trả lời

[trucngoc]

Cho tam giác nhọc ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC.

a)      Cm : B, C, D, E cùng thuộc đường tròn tâm I và HB.HD = HC.HE

b)      Vẽ đường kính AK, cm I là trung điểm của HK

c)       Cm rằng các tiếp tuyến tại D, tại E của đường tròn (I) đường kính BC và đường thẳng AH đồng quy

d)      Cm rằng : cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1

[quangnghia]

Cho tam giác nhọc ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC.

a)      Cm : B, C, D, E cùng thuộc đường tròn tâm I và HB.HD = HC.HE

Ta có CE là đường cao $\Rightarrow \widehat{BCE}=90^{o}$

BD là đường cao $\Rightarrow \widehat{BDC}=90^{o}$

$\Rightarrow \widehat{BED}=\widehat{BDC}$

Xét tứ giác $BEDC$ có

$\widehat{BED}=\widehat{BDC}$

Vậy $BEDC$ nội tiếp ( tứ giác có 2 góc cùng nhìn 1 cung dưới các góc bằng nhau)

$\Rightarrow B, E, D, C$ cùng thuộc đường tròn

Ta có $BEDC nội tiếp 

$\Rightarrow \widehat{EDB}=\widehat{ECB}$ ( góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

Xét $\Delta EDH$ và $\Delta BHC$ có

$\widehat{EDH}=\widehat{HCB}$ (chứng minh trên)

$\widehat{EHD}=\widehat{BHC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta EDH\sim \Delta BCH$

$\Rightarrow \frac{HD}{HE}=\frac{HC}{HB}$

$\Rightarrow HB.HD=HC.HE$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangnghia: 05-10-2014 - 19:02

[quangnghia]

Cho tam giác nhọc ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC.

b)      Vẽ đường kính AK, cm I là trung điểm của HK

Ta có AK là đường kính

$\Rightarrow AB$ vuông $BK$

Mà $AB$ vuông $EC$

$\Rightarrow BK$ song song $EC$

$\Rightarrow BK$ song song $HC$

Chứng minh tương tự thì $CK$ song song $BH$

Vậy $BHCK$ là hình bình hành ( tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song)

Mà I là trung điểm BC $\Rightarrow$ I là trung điểm HK

[quangnghia]

Cho tam giác nhọc ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC.

c)       Cm rằng các tiếp tuyến tại D, tại E của đường tròn (I) đường kính BC và đường thẳng AH đồng quy

Gọi L là trung điểm AH, ta sẽ chứng minh EL, LD là tiếp tuyến

L là trung điểm AH $\Rightarrow \widehat{LHE}=\widehat{LEH}$

Tương tự ta cũng có $\widehat{IEC}=\widehat{ECI}$

Vậy $\widehat{LEI}=\widehat{LEH}+\widehat{CEI}=\widehat{LHE}+\widehat{ECI}=\widehat{ABC}+\widehat{ECB}=90^{o}$

$\Rightarrow$ EL vuông EI

Vậy EL là tuyến tuyến của (I)

Chứng minh tương tự thì LD cũng là tiếp tuyến của (I)

Vậy AH, tuyến tuyến của (I) tại E, D đồng quy

[quangnghia]

Cho tam giác nhọc ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC.

d)      Cm rằng : cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1

Ta có $cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1$

$\Rightarrow \frac{1}{tanA.tanB}+\frac{1}{tanB.tanC}+\frac{1}{tanC.tanA}=1$

$\Rightarrow tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC$

Ta có $tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$

$\Rightarrow tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)$

$\Rightarrow tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(\Pi -C)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC$

[haccau]

Ta có $cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1$

$\Rightarrow \frac{1}{tanA.tanB}+\frac{1}{tanB.tanC}+\frac{1}{tanC.tanA}=1$

$\Rightarrow tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC$

Ta có $tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$

$\Rightarrow tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)$

$\Rightarrow tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(\Pi -C)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC$

mình có cách khác nah    

cotA=$\frac{AI}{BI} =\frac{AF}{FC}$

cotB=$\frac{BE}{AE} =\frac{BF}{FC}$

cotC=$\frac{CI}{BI} =\frac{CE}{AE}$

Có: cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=$\frac{AI}{BI}.\frac{BE}{AE}+\frac{BF}{FC}.\frac{CI}{BI}+\frac{CE}{AE}.\frac{AF}{FC}$

Có: $\frac{AF}{AE}= \frac{AH}{AC} \Rightarrow \frac{AI}{BI}.\frac{BE}{AE} =\frac{AH.BE}{AC.BI}= \frac{S_{BHA}}{S_{ABC}}$

tương tự có: $\frac{BF}{FC}.\frac{CI}{BI}= \frac{S_{BCH}}{S_{ABC}}$

                    $\frac{CE}{AE}.\frac{AF}{CF}= \frac{S_{ACH}}{S_{ABC}}$

Cộng vế theo vế, có: 

cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=$\frac{S_{ABH}+S_{BCH}+S_{ACH}}{S_{ABC}} = 1$

=> ĐPCM