Chủ đề này có 7 trả lời

[S dragon]

Cho tam giác vuông $ABC$ ($\widehat{A}=90^{0}$). Về phía ngoài tam giác dựng hình chữ nhật $BCDE$ có $CD=\frac{BC}{\sqrt{2}}$. Gọi $K, H$ lần lượt là giao điểm của $ED$ với $AB$ và $AC$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $BC$ đối với $AD$ và $AE$ .Chứng minh rằng $BC^{2} = BM^{2} + CN^{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi S dragon: 06-10-2014 - 11:44

[Bonjour]

Điểm M và N ở chốn nào ra vậy bạn ???   

[S dragon]

Điểm M và N ở chốn nào ra vậy bạn ???   

Xin lỗi. Mình đánh bị thiếu

[Bonjour]

Bạn xem lại đề coi có nhầm lẫn gì không ,sao minh dựng cái hình trên máy rồi kiểm tra lại không đúng  

Hình gửi kèm

• 

[S dragon]

Bạn xem lại đề coi có nhầm lẫn gì không ,sao minh dựng cái hình trên máy rồi kiểm tra lại không đúng  

Không bạn ạ.

[vkhoa]

Đặt AB =c, AC =b
$\frac{1}{AH^2} =\frac{1}{c^2} +\frac{1}{b^2} =\frac{b^2 +c^2}{b^2 c^2} =\frac{BC^2}{b^2 c^2}$
=>$AH =\frac{bc}{BC}$
$AB^2 =BH.BC$ =>$BH =\frac{c^2}{BC}$
$AC^2 =CH.BC$ =>$CH =\frac{b^2}{BC}$
$\frac{NH}{BH} =\frac{NH}{BN +NH} =\frac{AH}{BE +AH} =\frac{\frac{bc}{BC}}{\frac{BC}{\sqrt{2}}+\frac{bc}{BC}} =\frac{bc\sqrt{2}}{BC^2 +bc\sqrt{2}}$
=>$NH =\frac{bc^3 \sqrt{2}}{BC(BC^2 +bc\sqrt{2})}$
$CN =NH +HC =\frac{bc^3 \sqrt{2} +(b^2 .BC^2 +b^3 c\sqrt{2})}{BC.(BC^2 +bc\sqrt{2})} =\frac{bc(b^2 +c^2) \sqrt{2} +b^2 .BC^2}{BC.(BC^2 +bc\sqrt{2})}$
 $=\frac{(bc\sqrt{2}+b^2)BC}{BC^2 +bc\sqrt{2}}$ (vì $b^2 +c^2=BC^2$)
tương tự
$BM =\frac{(bc\sqrt{2}+c^2)BC}{BC^2 +bc\sqrt{2}}$
$BM^2 +CN^2 =\frac{BC^2.((bc\sqrt{2}+c^2)^2 +(bc\sqrt{2}+b^2)^2)}{(BC^2 +bc\sqrt{2})^2} =\frac{BC^2(4b^2 c^2 +b^4 +c^4 + 2\sqrt{2}bc.(b^2 +c^2))}{(BC^2 +bc\sqrt{2})^2} =\frac{BC^2(2b^2 c^2 +(b^2 +c^2)^2 + 2\sqrt{2}bc.BC^2)}{(BC^2 +bc\sqrt{2})^2} =BC^2.\frac{2b^2 c^2 +BC^4 + 2\sqrt{2}bc.BC^2}{BC^4 +2b^2 c^2+ 2\sqrt{2}bc.BC^2} =BC^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vkhoa: 08-10-2014 - 16:09

[hoangdang]

có cách nào ngắn hơn không bạn

[hoangdang]

Đặt AB =c, AC =b
$\frac{1}{AH^2} =\frac{1}{c^2} +\frac{1}{b^2} =\frac{b^2 +c^2}{b^2 c^2} =\frac{BC^2}{b^2 c^2}$
=>$AH =\frac{bc}{BC}$
$AB^2 =BH.BC$ =>$BH =\frac{c^2}{BC}$
$AC^2 =CH.BC$ =>$CH =\frac{b^2}{BC}$
$\frac{NH}{BH} =\frac{NH}{BN +NH} =\frac{AH}{BE +AH} =\frac{\frac{bc}{BC}}{\frac{BC}{\sqrt{2}}+\frac{bc}{BC}} =\frac{bc\sqrt{2}}{BC^2 +bc\sqrt{2}}$
=>$NH =\frac{bc^3 \sqrt{2}}{BC(BC^2 +bc\sqrt{2})}$
$CN =NH +HC =\frac{bc^3 \sqrt{2} +(b^2 .BC^2 +b^3 c\sqrt{2})}{BC.(BC^2 +bc\sqrt{2})} =\frac{bc(b^2 +c^2) \sqrt{2} +b^2 .BC^2}{BC.(BC^2 +bc\sqrt{2})}$
 $=\frac{(bc\sqrt{2}+b^2)BC}{BC^2 +bc\sqrt{2}}$ (vì $b^2 +c^2=BC^2$)
tương tự
$BM =\frac{(bc\sqrt{2}+c^2)BC}{BC^2 +bc\sqrt{2}}$
$BM^2 +CN^2 =\frac{BC^2.((bc\sqrt{2}+c^2)^2 +(bc\sqrt{2}+b^2)^2)}{(BC^2 +bc\sqrt{2})^2} =\frac{BC^2(4b^2 c^2 +b^4 +c^4 + 2\sqrt{2}bc.(b^2 +c^2))}{(BC^2 +bc\sqrt{2})^2} =\frac{BC^2(2b^2 c^2 +(b^2 +c^2)^2 + 2\sqrt{2}bc.BC^2)}{(BC^2 +bc\sqrt{2})^2} =BC^2.\frac{2b^2 c^2 +BC^4 + 2\sqrt{2}bc.BC^2}{BC^4 +2b^2 c^2+ 2\sqrt{2}bc.BC^2} =BC^2$

Có cách nào ngắn hơn không bạn