Chủ đề này có 6 trả lời

[kobietlamtoan]

Cho a,b,c là số thực đôi một khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})$

 

[Mikhail Leptchinski]

Cho a,b,c là số thực đôi một khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

$B=(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})$

Không mất tính tổng quát giả sử $a>b>c$.

Đặt $\left\{\begin{matrix}a-b=x & & \\ b-c=y & & \end{matrix}\right. =>a-c=x+y$

Ta có:$B=\frac{1}{2}\left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \right ].(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})=2+\left [ (\frac{y}{x})^2+(\frac{y}{x})^2 \right ]+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2+1-\frac{xy}{(x+y)^2}\geq 2+4+1-\frac{1}{4}=\frac{27}{4}$ 

 

Đây là bài toán thi VMO!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 06-10-2014 - 22:52

[Lam Ba Thinh]

Không mất tính tổng quát giả sử $a>b>c$.

Đặt $\left\{\begin{matrix}a-b=x & & \\ b-c=y & & \end{matrix}\right. =>a-c=x+y$

Ta có:$B=\frac{1}{2}\left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \right ].(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})=2+\left [ (\frac{y}{x})^2+(\frac{y}{x})^2 \right ]+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+1-\frac{xy}{(x+y)^2}\geq 2+2+1-\frac{1}{4}=\frac{27}{4}$ =>đpcm

 

Đây là bài toán thi VMO!

Cho mình hỏi là bạn trình như thế nào vậy mình đọc không hiểu.

[Lam Ba Thinh]

Không mất tính tổng quát giả sử $a>b>c$.

Đặt $\left\{\begin{matrix}a-b=x & & \\ b-c=y & & \end{matrix}\right. =>a-c=x+y$

Ta có:$B=\frac{1}{2}\left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \right ].(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})$$=2+\left [ (\frac{y}{x})^2+(\frac{y}{x})^2 \right ]+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+1-\frac{xy}{(x+y)^2}\geq 2+2+1-\frac{1}{4}=\frac{27}{4}$ 

 

Đây là bài toán thi VMO!

Chỗ này bạn biến đổi thế nào vậy?

[lahantaithe99]

Cho a,b,c là số thực đôi một khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})$

 

Bài này phải thay bằng $a,b,c$ là các số thực không âm

 

Khi đó $BT\geqslant (a^2+b^2)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})=P$

 

Chuẩn hóa $b=1$. Cần tìm min $P=(a^2+1)(\frac{1}{(a-1)^2}+\frac{1}{a^2}+1)=\frac{2}{a+\frac{1}{a}-2}+(a+\frac{1}{a})^2+1$

 

Đặt $a+\frac{1}{a}-2=t\geqslant 0$. $P=\frac{2}{t}+(t+2)^2+1$

 

Đến đây xét đạo hàm là được

 

---------------------------------------------------

 

P/s: bài này mình được biết qua một anh trên diễn đàn boxmath.vn

[CandyPanda]

Bài này phải thay bằng $a,b,c$ là các số thực không âm

 

Khi đó $BT\geqslant (a^2+b^2)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})=P$

 

Chuẩn hóa $b=1$. Cần tìm min $P=(a^2+1)(\frac{1}{(a-1)^2}+\frac{1}{a^2}+1)=\frac{2}{a+\frac{1}{a}-2}+(a+\frac{1}{a})^2+1$

 

Đặt $a+\frac{1}{a}-2=t\geqslant 0$. $P=\frac{2}{t}+(t+2)^2+1$

 

Đến đây xét đạo hàm là được

 

---------------------------------------------------

 

P/s: bài này mình được biết qua một anh trên diễn đàn boxmath.vn

Hình như bài này không cần phải không âm đâu. Mà dấu đẳng thức khi 2 số đối nhau, số còn lại =0 mà

 

Bài này dùng phân tích cơ bản thôi:
$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a+b+c)^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$

Rồi đặt a-b=x, b-c=y là giải được

[lahantaithe99]

Nếu $a,b,c$ là các số thực phân biệt (không có đk không âm), có thể giải theo cách sau:

 

$Vt=\sum \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+\sum (\frac{c}{a-b})^2=M+N$

 

Ta có

 

$2M=\sum \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)^2}=\sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)^2}=\sum (\frac{a+b}{a-b})^2+3$

 

Nếu đặt $(\frac{a+b}{a-b},...)=(x,y,z)$

 

Ta có đẳng thức là : $xy+yz+xz=-1$

 

Khi đó $\sum (\frac{a+b}{a-b})^2=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)\geqslant -2(xy+yz+xz)=2$

 

Do đó $2M\geqslant 2+3=5\rightarrow M\geqslant \frac{5}{2}$

 

$N=\sum (\frac{c}{a-b})^2$

 

Tương tự như cách tìm GTNN của $M$ ta cũng thu được $N\geqslant 2$

 

Do đó $Vt\geqslant \frac{9}{2}$