Chủ đề này có 7 trả lời

[chardhdmovies]

Bài 1:(4 điểm)

giải phương trình $4^{\sqrt{x}}.In(4^{\sqrt{x}})+e^{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}=4^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}+1)$

Bài 2:(4 điểm)

tìm các số tự nhiên $n,k$ thỏa $n^3-5n+10=2^k$

Bài 3:(4 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$.Gọi $A_{1},B_{1},C_{1}$ và $A_{2},B_{2},C_{2}$ lần lượt là chân đường cao của tam giác $ABC$ hạ từ các đỉnh $A,B,C$ và các điểm đối xứng với $A_{1},B_{1},C_{1}$  qua trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$.Gọi $A_3,B_3,C_3$ lần lượt là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AB_2C_2,BC_2A_2,CA_2B_2$ với $(O)$.

$a)$ chứng minh rằng $A$ và $A_3$ đối xứng nhau qua trung trực $BC$

$b)$ chứng minh $A_1A_3,B_1B_3,C_1C_3$ đồng quy

Bài 4:(3 điểm)

tìm các hàm số $f$ liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :$f(x+f(y))=f(x)+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 5:(3 điểm)

cho dãy $(a_n)$ thỏa : $\left\{\begin{matrix} a_1=1;a_2=1\\a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,\forall n\in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$

tìm tất các các số nguyên dương $a$ và $b$ với $a<b$ thỏa mãn điều kiện $a_n-2na^n$ chia hết cho $b$ với mọi $n\geq 1$

Bài 6:(3 điểm)

chứng minh rằng không thể chia một tập $X$ bất kì gồm $18$ số nguyên dương liên tiếp thành hai tập $A,B$ $($ với $A\cap B=\varnothing$ và $A\cup B=X)$ thỏa mãn tích các phần tử trong $A$ bằng tích các phần tử trong $B$

 

NTP

[Juliel]

Bài 2:(4 điểm)

tìm các số tự nhiên $n,k$ thỏa $n^3-5n+10=2^k$

Lời giải :

Cho $n$ chạy trên hệ thặng dư đầy đủ modulo $7$ ta suy ra :

$$n^3-5n+10\equiv 0,1,3,5,6\;\pmod 7$$

Nhưng rõ ràng $2^k\equiv 1,2,4\;\pmod 7$. Lấy giao của hai tập số dư ta được $2^k\equiv 1\;\pmod 7\Rightarrow 3\mid k$.

Đặt $k=3t$ với $t \in \mathbb{N}$ ta có :

$$(n-1)^3< n^3-5n+10=2^{3t}< (n+1)^3$$

Suy ra $2^{3t}=n^3$, từ đó $-5n+10=0$, kéo theo $n=2$. Cặp $(k,n)=(3,2)$ là cặp số tự nhiên duy nhất thỏa đề.

[phamxuanvinh08101997]

 

Bài 4:(3 điểm)

tìm các hàm số $f$ liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :$f(x+f(y))=f(x)+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

NTP

Đặt $f(0)=a$ . lấy x=0,y=0 ta có $f(f(0))=f(0)\Leftrightarrow f(a)=a$, lấy x=0,y=a ta có $f(a)=2a\Rightarrow a=0\Rightarrow f(0)=0$

lấy x=0 ta có $f(f(y))=y$, lấy $x=f(y)$ ta có $f(2f(y))=f(f(y))+y$ suy ra $f(2f(y))=2y$

lấy x=y ,y thay bằng f(y) ta có $f(2y)=2f(y)$ nên $f(2y)=2y\Rightarrow f(x)=x$ ,thử lại thấy thoả mãn .

Vậy $f(x)=x$

[mnguyen99]

 

Bài 6:(3 điểm)

chứng minh rằng không thể chia một tập $X$ bất kì gồm $18$ số nguyên dương liên tiếp thành hai tập $A,B$ $($ với $A\cap B=\varnothing$ và $A\cup B=X)$ thỏa mãn tích các phần tử trong $A$ bằng tích các phần tử trong $B$

 

NTP

Gọi a là tích của phần tử A, b tích các phần tử B

$a=b\Leftrightarrow ab=b^{2}$

Ta chúng minh rằng Tích của 18 số nguyên dương liên tiếp ko thể là số chính phương.

Giả sử diêuddos đúng.

THeo Wilson thì $18!\equiv -1 (mod 19)$

 $\Rightarrow a^{^{2}}\equiv -1 (mod 19)$

Theo fermat thì $a^{18}\equiv 1 (mod 19)\Leftrightarrow (a^{2})^{9}\equiv 1 (mod 19)$  (vô lí)

[chardhdmovies]

Bài 3:(4 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$.Gọi $A_{1},B_{1},C_{1}$ và $A_{2},B_{2},C_{2}$ lần lượt là chân đường cao của tam giác $ABC$ hạ từ các đỉnh $A,B,C$ và các điểm đối xứng với $A_{1},B_{1},C_{1}$  qua trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$.Gọi $A_3,B_3,C_3$ lần lượt là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AB_2C_2,BC_2A_2,CA_2B_2$ với $(O)$.

$a)$ chứng minh rằng $A$ và $A_3$ đối xứng nhau qua trung trực $BC$

$b)$ chứng minh $A_1A_3,B_1B_3,C_1C_3$ đồng quy

 

xem ở đây

 

NTP

[chardhdmovies]

Gọi a là tích của phần tử A, b tích các phần tử B

$a=b\Leftrightarrow ab=b^{2}$

Ta chúng minh rằng Tích của 18 số nguyên dương liên tiếp ko thể là số chính phương.

Giả sử diêuddos đúng.

THeo Wilson thì $18!\equiv -1 (mod 19)$

 $\Rightarrow a^{^{2}}\equiv -1 (mod 19)$

Theo fermat thì $a^{18}\equiv 1 (mod 19)\Leftrightarrow (a^{2})^{9}\equiv 1 (mod 19)$  (vô lí)

Bạn thiếu chỗ này, phải xét thêm trường hợp trong dãy số có $1$ số chia hết cho $19$ thì $a^2 \vdots 19$

NRC

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 08-10-2014 - 12:01

[khanghaxuan]

xem ở đây

 

NTP

Tại sao $AA_{3}//BC$ vậy bạn ?

[nhungvienkimcuong]

Bài 5:(3 điểm)

cho dãy $(a_n)$ thỏa : $\left\{\begin{matrix} a_1=1;a_2=1\\a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,\forall n\in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$

tìm tất các các số nguyên dương $a$ và $b$ với $a<b$ thỏa mãn điều kiện $a_n-2na^n$ chia hết cho $b$ với mọi $n\geq 1$

$\blacksquare$ điều kiện cần

theo giả thiết thì

$a_n\equiv 2na^n(mod\ b)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_1\equiv 2a(mod\ b)\\a_3\equiv 6a^3(mod\ b) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2a\equiv 19(mod \ b)\\6a^3\equiv 2(mod \ b) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2a\equiv 1(mod\ b)\\ 3(2a)^3\equiv 8(mod \ b) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2a\equiv 1(mod\ b)\\5\equiv 0(mod\ b) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2a\equiv 1(mod\ b)\\ b=5 \end{matrix}\right.\overset{a<b}{\Rightarrow}\left\{\begin{matrix} a=3\\b=5 \end{matrix}\right.$

 

$\blacksquare$ điều kiện đủ:ta sẽ chứng minh cặp $(a,b)=(3,5)$ thỏa đề

xét dãy $(c_n)_{n=1}^{+\infty}:c_n=a_n-2n3^n\Rightarrow c_{n+2}=c_{n+1}+c_n-10.3^n(n+3)$

$\Rightarrow c_{n+2}\equiv c_{n+1}+c_n(mod\ 5)\overset{5\mid c_1,c_2}{\Rightarrow}5\mid c_n, \forall n\in \mathbb{N}^*$

$\Rightarrow 5\mid a_n-2n3^n\ ,\ \ \forall n\in \mathbb{N}^*$

vậy $\boxed{(a,b)=(3,5)}$

Spoiler

một thời để nhớ.....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 26-05-2015 - 11:22