Cho tứ giác $ABCD$ có các cặp cạnh đối không song song nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là giao điểm của $AC$ và $BD$; $AD$ và $BC$; $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng $O$ là trực tâm tam giác $NMP$ (định lý Brocard)
#1
Đã gửi 07-10-2014 - 22:11
#2
Đã gửi 12-10-2014 - 00:23
Gọi K là giao điểm (ABM) và (CDM)
Vì P nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn này nên P,K,M thẳng hàng.
Xét tứ giác OADK có:
$\angle AKD=\angle AKM+\angle MDK=\angle ABD+\angle ACD=\angle AOD$
Nên OADK là tứ giác nội tiếp, tương tự với OKCB
Suy ra O,K,N cũng thẳng hàng (cùng nằm trên trục đẳng phương của (OAD) và (OBC))
Mặt khác:
$\angle PKN=\angle PKD+\angle DKN=\angle MCD+\angle OAD=\angle ABM+\angle OAD$
$=\angle AKM+ \angle AKO =\angle OKP$
Suy ra ON vuông góc với MP
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được OP vuông góc MN
Suy ra O là trực tâm tam giác MNP
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuoiHocNhatLop: 12-10-2014 - 00:25
- shinichigl, Phuong Mark, chardhdmovies và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 12-10-2014 - 15:45
Bạn xem kí hiệu đầu bài có bị trùng không
#5
Đã gửi 25-10-2014 - 16:53
Kẻ các tiếp tuyến từ $N$ đến $(O)$ là $NX,NY$ và $P$ là $PE,PF$ khi đó $\overline{X,Y,E,F,M}$ ( khi đó ta cũng đó đpcm vì $NO$ vuông góc $EF$)
Giả sử $XY$ cắt $AD,BC$ ở $H,K$ ta có $(NHAD)=(NKBC)=-1$ nên $HK,AB,DC$ đồng quy ở $P$ , tương tự $(NHAD)=(NKCB)=-1$ nên $HK,AC,DB$ đồng quy ở $M$ do đó ta có đpcm .
- CaptainCuong yêu thích
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#6
Đã gửi 15-11-2015 - 07:49
Cho em xin những tài liệu về các ứng dụng, bài tập về định lý này với ạ!
"Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn." (Issac Newton)
"Khi mọi thứ dường như đang quay lưng với bạn, thì hãy luôn nhớ rằng máy bay cất cánh được khi bay ngược chiều chứ không phải thuận chiều gió"
#7
Đã gửi 03-09-2017 - 21:55
Cho em xin những tài liệu về các ứng dụng, bài tập về định lý này với ạ!
https://tranminhngoc...g-de1bba5ng.pdf
- quochoangkim và hihihi321 thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hhp
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Hình học →
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng →
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết diện tích tam giác ABC bằng 90Bắt đầu bởi NAT, 20-08-2016 hhp, tamgiac |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh: $AA_{3},BB_{3},CC_{3}$ đôi một song song hoặc đồng quiBắt đầu bởi ineX, 10-07-2016 hhp, inex, 2016 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh $S,A,H$ thẳng hàng.Bắt đầu bởi ineX, 03-05-2016 hhp, 2016, ddt |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh $\widehat{QAP}=2\widehat{OQB}$Bắt đầu bởi ineX, 01-05-2016 hhp, 2016 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh $AD$ là đường đối trung của tam giác $ABC$Bắt đầu bởi ineX, 30-04-2016 đường đối trung, hhp, 2016 |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh