Chủ đề này có 1 trả lời

[onelove1816]

1, cho $\Delta ABC có \widehat{A} = 60. tìm M sao cho \sqrt{3}MA +MB + MC$ nhỏ nhất

 

 

[ChiLanA0K48]

1, cho $\Delta ABC có \widehat{A} = 60. tìm M sao cho \sqrt{3}MA +MB + MC$ nhỏ nhất

Phía ngoài $\triangle ABC$ dựng $\triangle A'BC$ sao cho $\triangle A'BC$ đều.

Áp dụng bất đẳng thức $Ptolemy$ cho tứ giácc $MBA'C$ có : $MB.CA'+MC.BA' \geq BC.MA'$ mà $BC=CA'=A'B$

Suy ra $MB+MC\geq MA'$

Dựng tam giác $AA'N$ vuông tại $N$ có $\angle NAA'=60^o$ suy ra $\sqrt{3}.NA=NA'$

Áp dụng bất đẳng thức $Ptolemy$ cho tứ giác $MANA'$ có $MA.NA'+NA.MA'\geq MN.AA'$

suy ra $\sqrt{3}MA+MA'\geq \frac{MN.AA'}{NA}$

suy ra $\sqrt{3}MA+MB+MC\geq \sqrt{3}MA+MA'\geq \frac{MN.AA'}{NA}=const$ (Do $\angle BAC=60^o$ nên dễ chứng minh $N$ là đối xứng của trung điểm $BC$ qua $CA$ hoặc $AB$ suy ra $N$ là điểm cố định)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: tứ giác $MANA'$ và tứ giác $MBA'C$ đều là tứ giác nội tiếp

Suy ra điểm $M$ là giao của đường tròn ngoại tiếp $(MAA')$ và $A'BC$ để $\sqrt{3}MA +MB + MC$ đạt giá trị nhỏ nhất.