1, cho $\Delta ABC có \widehat{A} = 60. tìm M sao cho \sqrt{3}MA +MB + MC$ nhỏ nhất
1, cho $\Delta ABC có \widehat{A} = 60. tìm M sao cho \sqrt{3}MA +MB + MC$ nhỏ nhất
Mọi con đường dẫn đến thành công đều xuất phát từ nỗ lực của bản thân!!!
1, cho $\Delta ABC có \widehat{A} = 60. tìm M sao cho \sqrt{3}MA +MB + MC$ nhỏ nhất
Phía ngoài $\triangle ABC$ dựng $\triangle A'BC$ sao cho $\triangle A'BC$ đều.
Áp dụng bất đẳng thức $Ptolemy$ cho tứ giácc $MBA'C$ có : $MB.CA'+MC.BA' \geq BC.MA'$ mà $BC=CA'=A'B$
Suy ra $MB+MC\geq MA'$
Dựng tam giác $AA'N$ vuông tại $N$ có $\angle NAA'=60^o$ suy ra $\sqrt{3}.NA=NA'$
Áp dụng bất đẳng thức $Ptolemy$ cho tứ giác $MANA'$ có $MA.NA'+NA.MA'\geq MN.AA'$
suy ra $\sqrt{3}MA+MA'\geq \frac{MN.AA'}{NA}$
suy ra $\sqrt{3}MA+MB+MC\geq \sqrt{3}MA+MA'\geq \frac{MN.AA'}{NA}=const$ (Do $\angle BAC=60^o$ nên dễ chứng minh $N$ là đối xứng của trung điểm $BC$ qua $CA$ hoặc $AB$ suy ra $N$ là điểm cố định)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: tứ giác $MANA'$ và tứ giác $MBA'C$ đều là tứ giác nội tiếp
Suy ra điểm $M$ là giao của đường tròn ngoại tiếp $(MAA')$ và $A'BC$ để $\sqrt{3}MA +MB + MC$ đạt giá trị nhỏ nhất.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh