Chủ đề này có 3 trả lời

[Super Fields]

Bài $1$: Cho $5sin^4x+cos^4x=\frac{5}{6}$. Tính $A=sin^4x+5cos^4x$

 

Bài $2$: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc $x$

$$A=3(sin^8x-cos^8x)+4(cos^6x-2sin^6x)+6sin^4x$$

 

Bài $3$: Cho $\frac{sin^4x}{a}+\frac{cos^4x}{b}=\frac{1}{a+b}$ $(a>0;b>0)$

Chứng minh rằng : $\frac{sin^8x}{a}+\frac{cos^8x}{b}=\frac{1}{(a+b)^3}$

 

Hãy tổng quát bài $3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 09-10-2014 - 14:45

[Viet Hoang 99]

Bài $1$: Cho $5sin^4x+cos^4x=\frac{5}{6}$. Tính $A=sin^4x+5cos^4x$

 

Bài $2$: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc $x$

$$A=3(sin^8x-cos^8x)+4(cos^6x-2sin^6x)+6sin^4x$$

 

Bài $3$: Cho $\frac{sin^4x}{a}+\frac{cos^4x}{b}=\frac{1}{a+b}$ $(a>0;b>0)$

Chứng minh rằng : $\frac{sin^8x}{a}+\frac{cos^8x}{b}=\frac{1}{(a+b)^3}$

 

Hãy tổng quát bài $3$

1)

Có:

$\cos^4x=(1-\sin^2x)^2 =\sin^4x - 2\sin^2x + 1 $
Thay vào giả thiết ta được:
$6\sin^4x - 2.\sin^2x + \frac{1}{6} =0$ 

$\Leftrightarrow \sin^4x - \frac{1}{3} \sin^2x + \frac{1}{36} =0$

$\Leftrightarrow \left ( \sin^2x - \frac{1}{6} \right )^2 =0$

$\Leftrightarrow \sin^2x =\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \cos^2x = \dfrac{5}{6}$

Thay vào tính được $A$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-10-2014 - 14:55

[Viet Hoang 99]

Bài $1$: Cho $5sin^4x+cos^4x=\frac{5}{6}$. Tính $A=sin^4x+5cos^4x$

 

Bài $2$: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc $x$

$$A=3(sin^8x-cos^8x)+4(cos^6x-2sin^6x)+6sin^4x$$

 

Bài $3$: Cho $\frac{sin^4x}{a}+\frac{cos^4x}{b}=\frac{1}{a+b}$ $(a>0;b>0)$

Chứng minh rằng : $\frac{sin^8x}{a}+\frac{cos^8x}{b}=\frac{1}{(a+b)^3}$

 

Hãy tổng quát bài $3$

Bài 2 tương tự bài 1

Bài 3:

Hướng dẫn:

Áp dụng bđt Schwarz ta có:

$\frac{\sin^4x}{a}+\frac{\cos^4x}{b}\geq \frac{(\sin^2x+\cos^2x)^2}{a+b}=\dfrac{1}{a+b}$ 

 

Dấu "=" xảy ra khi: $\frac{\sin^2x}{a}=\frac{\cos^2x}{b}=\frac{1}{a+b}$

 

P/s: Tổng quát bài 3 tức là tổng quát bđt Schwarz, dễ ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-10-2014 - 15:05

[dogsteven]

Bài 2:

 

$A'=24\sin x \cos x (\sin^6 x + \cos^6 x -\cos^4 x -2\sin^4 x +\sin^2 x)$

 

Mà $\sin^6 x + \cos^6 x -\cos^4 x -2\sin^4 x +\sin^2 x = -\sin^4x - \sin^2x \cos^2x + \sin^2 x =0$

 

$\Rightarrow A'=0 \Leftrightarrow A$ là hằng số nên không phụ thuộc vào $x$