Chủ đề này có 3 trả lời

[phuc_90]

Bài toán :   Cho a,b,c là các số thực dương thỏa $abc=1$. Chứng minh rằng :

 

$1)$        $3\left ( a^3+1 \right )\left ( b^3+1 \right )\left ( c^3+1 \right )\geq \left ( a+b+c \right )\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )$

 

$2)$       $3\left ( a^3+1 \right )\left ( b^3+1 \right )\left ( c^3+1 \right )\geq \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )$

[phuc_90]

Bài toán :   Cho a,b,c là các số thực dương thỏa $abc=1$. Chứng minh rằng :

 

$1)$        $3\left ( a^3+1 \right )\left ( b^3+1 \right )\left ( c^3+1 \right )\geq \left ( a+b+c \right )\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )$

 

$2)$       $3\left ( a^3+1 \right )\left ( b^3+1 \right )\left ( c^3+1 \right )\geq \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )$

 

Gợi ý cho 2 câu :   Đặt  $x=a+\frac{1}{a} \geq 2$  ,  $y=b+\frac{1}{b} \geq 2$   ,   $z=c+\frac{1}{c} \geq 2$

[Poseidont]

Câu 1 

 

BĐT $\Leftrightarrow 3(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)\geq a+b+c$

 Ta sẽ chứng minh $VT+3\geq VP+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Đặt $x=a+\frac{1}{a}$ , $y=b+\frac{1}{b}$ , $z=c+\frac{1}{c}$

$3(x-1)(y-1)(z-1)\geq x+y+z\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)-12+3(x+y+z))\geq 3(xy+yz+xz))$

(Đúng vì $x\geq 2$ , $y\geq 2$, $z\geq 2$ )

Suy ra điều phải chứng minh

[Poseidont]

Câu 2 cũng tương tự chỉ thay đổi đoạn $VT+3\geq VP+a+b+c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Poseidont: 20-10-2014 - 16:50