Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc=1$ . Chứng minh rằng:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}).$
Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc=1$ . Chứng minh rằng:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}).$
Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc=1$ . Chứng minh rằng:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}).$
Đặt $a=\sqrt{\frac{xy}{\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )}} , b=\sqrt{\frac{yz}{\left ( y+x \right )\left ( z+x \right )}} , c=\sqrt{\frac{zx}{\left ( z+y \right )\left ( x+y \right )}}$
Thế vào bất đẳng thức trên, sau vài bước quy đồng biến đổi thì bất đẳng thức cần chứng minh có dạng
$\sum x\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 4\sum \frac{x}{y+z}$ (đúng)
Vì ta luôn có kết quả sau : Với mọi số thực dương m,n thì $\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\geq \frac{4}{n+m}$
Đặt $a=\sqrt{\frac{xy}{\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )}} , b=\sqrt{\frac{yz}{\left ( y+x \right )\left ( z+x \right )}} , c=\sqrt{\frac{zx}{\left ( z+y \right )\left ( x+y \right )}}$
Thế vào bất đẳng thức trên, sau vài bước quy đồng biến đổi thì bất đẳng thức cần chứng minh có dạng
$\sum x\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 4\sum \frac{x}{y+z}$ (đúng)
Vì ta luôn có kết quả sau : Với mọi số thực dương m,n thì $\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\geq \frac{4}{n+m}$
cụ thể hơn đi. t chưa biển đổi ra đk
cụ thể hơn đi. t chưa biển đổi ra đk
$VT = \frac{\sum xy(x+y)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
$VP = 4\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \right)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 12-10-2014 - 17:50
Đặt $a=\sqrt{\frac{xy}{\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )}} , b=\sqrt{\frac{yz}{\left ( y+x \right )\left ( z+x \right )}} , c=\sqrt{\frac{zx}{\left ( z+y \right )\left ( x+y \right )}}$
Cho em hỏi qua phép biến đổi nào mà nghĩ ra cách đặt thế này ạ?
$VT = \frac{\sum xy(x+y)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
$VP = 4\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \right)$
t thấy gần như giải thiết đề bài cho k cần thiết
Cho em hỏi qua phép biến đổi nào mà nghĩ ra cách đặt thế này ạ?
Nhờ đẳng thức $a^2+b^2+c^2+2abc=1$ này nek em
Có một cách không cần suy nghĩ
Dễ thấy tồn tại $t \geqslant 0$ thỏa $a^2+2t^2+2at^2=1 \Leftrightarrow t^2=\dfrac{1-a}{2}$
Đặt $f(a;b;c)=a^2+b^2+c^2-4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
Theo giả thiết thì $bc \leqslant t^2$ và $2t^2 \leqslant b^2+c^2$
$f(a;b;c)-f(a;t;t)=(b^2+c^2-2t^2)(1-4a^2)-4(b^2c^2-t^4)$
Giả sử $a \leqslant \text{min{b;c}}$ thì $3a^2+2a^3-1 \leqslant 0 \Leftrightarrow 0\leqslant a \leqslant \dfrac{1}{2}$
Vì vậy mà $f(a;b;c) \geqslant f(a;t;t) = 4a^3-4a^2+a=a(2a-1)^2 \geqslant 0$
Bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$ hoặc $a\to 0, b=c \to \sqrt{\dfrac{1}{2}}$
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Có một cách không cần suy nghĩ
Dễ thấy tồn tại $t \geqslant 0$ thỏa $a^2+2t^2+2at^2=1 \Leftrightarrow t^2=\dfrac{1-a}{2}$
Đặt $f(a;b;c)=a^2+b^2+c^2-4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
Theo giả thiết thì $bc \leqslant t^2$ và $2t^2 \leqslant b^2+c^2$
$f(a;b;c)-f(a;t;t)=(b^2+c^2-2t^2)(1-4a^2)-4(b^2c^2-t^4)$
Giả sử $a \leqslant \text{min{b;c}}$ thì $3a^2+2a^3-1 \leqslant 0 \Leftrightarrow 0\leqslant a \leqslant \dfrac{1}{2}$
Vì vậy mà $f(a;b;c) \geqslant f(a;t;t) = 4a^3-4a^2+a=a(2a-1)^2 \geqslant 0$
Bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$ hoặc $a\to 0, b=c \to \sqrt{\dfrac{1}{2}}$
Hay đó!
Mọi việc làm thành công trên đời đều bắt nguồn từ sự hy vọng.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh