Đến nội dung

Hình ảnh

$P=x+y+z+\frac{1}{x+y+z}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
Bài 3,Cho $x,y,z\geq0$ và không đồng thời bằng 0 thỏa mãn: $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\leq1$. Tìm GTNN của $P=x+y+z+\frac{1}{x+y+z}$
Bài 4,Cho x,y,z>0 thỏa mãn:$xy+yz+zx=671$.CMR: $\frac{x}{x^2-yz+2013}+\frac{y}{y^2-zx+2013}+\frac{z}{z^2-xy+2013}\geq \frac{1}{x+y+z}$

Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#2
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

 

Bài 3,Cho $x,y,z\geq0$ và không đồng thời bằng 0 thỏa mãn: $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\leq1$. Tìm GTNN của $P=x+y+z+\frac{1}{x+y+z}$
 

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}\geq \frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{2}{\sqrt{(y+2)(z+3)}}$

$\frac{y+1}{y+2}=1-\frac{1}{y+2}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(z+3)}}$

$\frac{z+2}{z+3}=1-\frac{1}{z+3}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(y+2)}}$

Nhân theo vế các BĐT trên ta được

$\frac{x(y+1)(z+2)}{(x+1)(y+2)(z+3)}\geq \frac{8}{(x+1)(y+2)(z+3)}\Rightarrow x(y+1)(z+2)\geq 8$

Theo BĐT $AM-GM$ thì $8\leq x(y+1)(z+2)\leq \frac{(x+y+z+3)^3}{27}\Rightarrow x+y+z\geq 3$

Đặt $x+y+z=t$ $(t\geq 3)$

$\Rightarrow P=t+\frac{1}{t}=t+\frac{9}{t}-\frac{8}{t}\geq 2\sqrt{t.\frac{9}{t}}-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$

Vậy $P$ min $=\frac{10}{3}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=2;y=1;z=0$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#3
datmc07061999

datmc07061999

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

 

Bài 3,Cho $x,y,z\geq0$ và không đồng thời bằng 0 thỏa mãn: $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\leq1$. Tìm GTNN của $P=x+y+z+\frac{1}{x+y+z}$
Bài 4,Cho x,y,z>0 thỏa mãn:$xy+yz+zx=671$.CMR: $\frac{x}{x^2-yz+2013}+\frac{y}{y^2-zx+2013}+\frac{z}{z^2-xy+2013}\geq \frac{1}{x+y+z}$

 

 Dùng Cauchy-Schwarz: 

   $\sum \frac{x}{x^{2}-yz+2013}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sum x^{3}-3xyz+2013(x+y+z)}$

                                                    $=\frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)[(x+y+z)^{2}-3(xy+yz+zx)]+2013(x+y+z)}$

                                                    $= \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)(x+y+z)^{2}}= \frac{1}{x+y+z}$

  $Q.E.D$

    P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha...


Hãy cố gắng vượt qua tất cả dù biết mình chưa là gì...


#4
trameo

trameo

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}\geq \frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{2}{\sqrt{(y+2)(z+3)}}$

$\frac{y+1}{y+2}=1-\frac{1}{y+2}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(z+3)}}$

$\frac{z+2}{z+3}=1-\frac{1}{z+3}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(y+2)}}$

Nhân theo vế các BĐT trên ta được

$\frac{x(y+1)(z+2)}{(x+1)(y+2)(z+3)}\geq \frac{8}{(x+1)(y+2)(z+3)}\Rightarrow x(y+1)(z+2)\geq 8$

Theo BĐT $AM-GM$ thì $8\leq x(y+1)(z+2)\leq \frac{(x+y+z+3)^3}{27}\Rightarrow x+y+z\geq 3$

Đặt $x+y+z=t$ $(t\geq 3)$

$\Rightarrow P=t+\frac{1}{t}=t+\frac{9}{t}-\frac{8}{t}\geq 2\sqrt{t.\frac{9}{t}}-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$

Vậy $P$ min $=\frac{10}{3}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=2;y=1;z=0$

Mình nghĩ làm thế này dễ hiểu hơn:

Ta có: $1\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{x+y+z+6}=\frac{9}{x+y+z+6}$

$\Rightarrow x+y+z+6\geq 9\Rightarrow x+y+x\geq 3$

Ta lại có: $x+y+z+\frac{1}{x+y+z}=\frac{8(x+y+z)}{9}+\frac{x+y+z}{9}+\frac{1}{x+y+z}\geq \frac{8.3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$

Vậy Pmin = $\frac{10}{3}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh