Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh- Phú Yên
__________________________
Đề thi học sinh giỏi Khối $10$
Năm học: $2014-2015$
Môn: Toán
Lớp : $10$
Thời gian: $180$ phút.
Câu $1$: $(2$ điểm $)$:
Giải phương trình $$x=\sqrt{3-x}\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}\sqrt{5-x}+\sqrt{3-x}\sqrt{5-x}$$
Câu $2$: $(2$ điểm $)$:
Cho các số thực $a,b,c$ với $a \neq 0$ sao cho : phương trình $ax^2+bx+c=0$ có hai nghiệm thuộc đoạn $[0;1]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$$P=\frac{(a-b)(2a-b)}{a(a-b+c)}$$
Câu $3$: $(2$ điểm $)$:
Dùng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ , ta có:
$$n^n \geq (n+1)^{n-1}$$
Câu $4$: $(2$ điểm $)$:
Dùng phản chứng , chứng minh rằng với $16$ số nguyên dương bất kỳ, ta có ít nhất hiệu của $2$ số trong đó chia hết cho $15$
Câu $5$: $(2$ điểm $)$:
Cho tập hợp $X=\begin{Bmatrix} x \in \mathbb{N}/ 0<x<10 \end{Bmatrix}$ và các tập hợp $A$ và $B$ sao cho $A\subset X ; B \subset X$ và $A\cap B = \begin{Bmatrix} 4;6;9 \end{Bmatrix};A\cup \begin{Bmatrix} 3;4;5 \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 1;3;4;5;6;8;9 \end{Bmatrix};B\cup \begin{Bmatrix} 4;8 \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 2;3;4;5;6;7;8;9 \end{Bmatrix}$
Xác định các tập hợp $A$ và $B$.
Câu $6$: $(2$ điểm $)$:
Số $3^n+2009$, $n$ là số nguyên dương , có chia hết cho $184$ không? Hãy chứng minh điều mà bạn khẳng định.
Câu $7$: $(4$ điểm $)$:
Cho tam giác $ABC$ . Gọi $D$ và $E$ lần lượt là các điểm thỏa mãn:
$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$. Tìm vị trí của điểm $K$ trên $AD$ sao cho $3$ điểm $B;K;E$ thẳng hàng.
Câu $8$: $(4$ điểm $)$:
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $BC=a$; $CA=b$ ; $AB=c$. Xác định điểm $I$ thỏa mãn hệ thức:
$$-2a^2\overrightarrow{IA}+b^2\overrightarrow{IB}+c^2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$$
Hết
______________________________
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 12-10-2014 - 15:04
