Chủ đề này có 2 trả lời

[rootsvr]

Cho a,b,c>0 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ .CMR:
$\frac{a}{\sqrt[]{a^{_{2}}+b+c}}+\frac{b}{\sqrt[]{b^{_{2}}+a+c}}+\frac{c}{\sqrt[]{c^{_{2}}+a+c}}\leq \sqrt[]{3}$

[khanghaxuan]

Cho a,b,c>0 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ .CMR:
$\frac{a}{\sqrt[]{a^{_{2}}+b+c}}+\frac{b}{\sqrt[]{b^{_{2}}+a+c}}+\frac{c}{\sqrt[]{c^{_{2}}+a+c}}\leq \sqrt[]{3}$

Chổ này hình như có vấn đề bạn à !

[phuc_90]

Cho a,b,c>0 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ .CMR:
$\frac{a}{\sqrt[]{a^{_{2}}+b+c}}+\frac{b}{\sqrt[]{b^{_{2}}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt[]{c^{_{2}}+a+b}}\leq \sqrt[]{3}$

 

Nếu đề như thế thì ta chứng minh như sau

 

Sử dụng các kết quả đã biết :     $3\left(ab+bc+ca \right) \leq \left(a+b+c \right)^2$  và $a+b+c \leq \sqrt[]{3\left(a^2+b^2+c^2 \right)}=3$

 

$\frac{a}{\sqrt[]{a^2+b+c}}=\frac{a\sqrt[]{1+b+c}}{\sqrt[]{\left(a^2+b+c \right)\left(1+b+c \right)}} \leq \frac{a\sqrt[]{1+b+c}}{a+b+c}$

 

suy ra  $\sum \frac{a}{\sqrt[]{a^2+b+c}} \leq \frac{\sum a\sqrt[]{1+b+c}}{a+b+c}$

 

Theo Cauchy-Schwarz thì  $\left(\sum a\sqrt[]{1+b+c} \right)^2 \leq \left(\sum a \right)\left(\sum a(1+b+c) \right) \leq \left(\sum a \right)^2 \left [1+\frac{2}{3}\sum a \right]$

 

do đó   $\frac{\sum a\sqrt[]{1+b+c}}{a+b+c} \leq \sqrt[]{1+\frac{2}{3}\sum a} \leq \sqrt[]{3}$