Cho a,b,c>0 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ .CMR:
$\frac{a}{\sqrt[]{a^{_{2}}+b+c}}+\frac{b}{\sqrt[]{b^{_{2}}+a+c}}+\frac{c}{\sqrt[]{c^{_{2}}+a+c}}\leq \sqrt[]{3}$
#1
Đã gửi 12-10-2014 - 16:39
#2
Đã gửi 12-10-2014 - 18:26
Cho a,b,c>0 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ .CMR:
$\frac{a}{\sqrt[]{a^{_{2}}+b+c}}+\frac{b}{\sqrt[]{b^{_{2}}+a+c}}+\frac{c}{\sqrt[]{c^{_{2}}+a+c}}\leq \sqrt[]{3}$
Chổ này hình như có vấn đề bạn à !
- rootsvr yêu thích
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -
#3
Đã gửi 12-10-2014 - 19:00
Cho a,b,c>0 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ .CMR:
$\frac{a}{\sqrt[]{a^{_{2}}+b+c}}+\frac{b}{\sqrt[]{b^{_{2}}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt[]{c^{_{2}}+a+b}}\leq \sqrt[]{3}$
Nếu đề như thế thì ta chứng minh như sau
Sử dụng các kết quả đã biết : $3\left(ab+bc+ca \right) \leq \left(a+b+c \right)^2$ và $a+b+c \leq \sqrt[]{3\left(a^2+b^2+c^2 \right)}=3$
$\frac{a}{\sqrt[]{a^2+b+c}}=\frac{a\sqrt[]{1+b+c}}{\sqrt[]{\left(a^2+b+c \right)\left(1+b+c \right)}} \leq \frac{a\sqrt[]{1+b+c}}{a+b+c}$
suy ra $\sum \frac{a}{\sqrt[]{a^2+b+c}} \leq \frac{\sum a\sqrt[]{1+b+c}}{a+b+c}$
Theo Cauchy-Schwarz thì $\left(\sum a\sqrt[]{1+b+c} \right)^2 \leq \left(\sum a \right)\left(\sum a(1+b+c) \right) \leq \left(\sum a \right)^2 \left [1+\frac{2}{3}\sum a \right]$
do đó $\frac{\sum a\sqrt[]{1+b+c}}{a+b+c} \leq \sqrt[]{1+\frac{2}{3}\sum a} \leq \sqrt[]{3}$
- chardhdmovies và rootsvr thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh