Chủ đề này có 1 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm và d là một tiếp tuyến của đường tròn tại C.Gọi AH và BI là các đường cao của tam giác.Gọi MN và EF lần lượt là hình chiếu của đoạn AH và BI trên đường thẳng d.CMR:MN=EF

[vkhoa]

bổ đề: Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm, I là trung điểm BC. Cm AH =2 .OI
cminh bổ đề: kẻ đường kính AM, ta có BHCM là hình bình hành(2 cặp cạnh đối //)
=>I trung điểm HM =>IO là đ trung bình của AHM =>AH =2 .OI

-----------

ch minh: (hình vẽ bên dưới)
Gọi O, J lần lượt là tâm đ tròn ngoại tiếp, trực tâm của tam giác ABC
lần lượt hạ IP, HQ vuông góc AM, BE tại P, Q
lần lượt hạ OK, OL vuông góc AC, BC tại K, L
ta có $\widehat{IAP} =\widehat{ACO}=\widehat{OAK}$
mà $\widehat{API} =\widehat{AKO} =90^\circ$
=>$\triangle API\sim\triangle AKO$ (g, g)
=>$\frac{IP}{OK} =\frac{AI}{AO}$
=>$IP =\frac{AI .OK}{AO}$ (1)
chứng minh tương tự có
$HQ =\frac{BH .OL}{BO}$ (2)
chia (1) cho (2) vế theo vế được
$\frac{IP}{HQ} =\frac{AI .OK}{BH .OL}$ (vì AO =BO) (3)
mặt khác có $\triangle AIJ\sim\triangle BHJ$ (g, g)
=>$\frac{AI}{BH} =\frac{AJ}{BJ}$ (4)
mà theo bổ đề có AJ=2 .OL, BJ =2 .OK, thế vào (4) được
$\frac{AI}{BH} =\frac{OL}{OK}$ (5)
thế (5) vào (3) được
$\frac{IP}{HQ} =\frac{OL}{OK} .\frac{OK}{OL} =1$
=>IP =HQ
mà IP =MF, HQ =NE
=>MF =NE
<=>MF +FN =NE +FN
<=>MN =EF (đpcm)