Chủ đề này có 12 trả lời

[lethanhson2703]

1.Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=1$. TÌm GTLN của biểu thức sau: $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

2. Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a\geq 2;b\geq 6;c\geq 12$

TÌm GTLN của biểu thức: $A=\frac{\sqrt{a-2}}{a}+\frac{\sqrt[3]{b-6}}{b}+\frac{\sqrt[4]{c-12}}{c}$

3. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR: $ 4a^2+6b^2+3c^2\geq 12$

4. Cho 3 số thực dương $a,b,c$. CMR: $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{16c^2}{a+b}\geq \frac{64c-a-b}{9}$

5. Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=10$ tìm GTLN của $A=a^2b^3c^5$

6. Cho 3 số thực dương thỏa mãn:$a+b+c=\frac{3}{4}$. TÌm GTLN của biểu thức: $P=\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethanhson2703: 16-10-2014 - 21:29

[hoctrocuaZel]

1.Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=1$. TÌm GTLN của biểu thức sau: $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

6. Cho 3 số thực dương thỏa mãn:$a+b+c=\frac{3}{4}$. TÌm GTLN của biểu thức: $P=\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}$

Câu 1 và câu 6:

1/ $A=\sum \sqrt{a+b}\rightarrow \sqrt{\frac{2}{3}}.A=\sum \sqrt{(a+b).\frac{2}{3}}\leq \sum \frac{a+b+\frac{2}{3}}{2}=2\rightarrow A\leq \sqrt{6}$

[terikodinh]

1.áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki:

 $P=(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}\sqrt{a+c})^{2}\leq 3(a+b+b+c+c+a)= 6$

\Rightarrow $P\leq \sqrt{6}$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi terikodinh: 13-10-2014 - 21:16

[hoctrocuaZel]

2. Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a\geq 2;b\geq 6;c\geq 12$

 

TÌm GTLN của biểu thức: $A=\frac{\sqrt{a-2}}{a}+\frac{\sqrt[3]{b-6}}{b}+\frac{\sqrt[4]{c-12}}{c}$

 

Mình làm 1 phân thức 2 cái sau dùng Am-gm tương tự:

$\frac{\sqrt{a-2}}{a}=\frac{\sqrt{(a-2)2}}{\sqrt{2}a}\leq \frac{a}{2\sqrt{2}a}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huong TH Phan: 13-10-2014 - 21:19

[Viet Hoang 99]

 

2. Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a\geq 2;b\geq 6;c\geq 12$

TÌm GTLN của biểu thức: $A=\frac{\sqrt{a-2}}{a}+\frac{\sqrt[3]{b-6}}{b}+\frac{\sqrt[4]{c-12}}{c}$

 

2)

Ta có :

$S=\dfrac{\sqrt{a-2}}{a}+\dfrac{\sqrt[3]{b-6}}{b}+\dfrac{\sqrt[4]{c-12}}{c}$

Áp dụng BDT AM-GM ta có:

$\dfrac{\sqrt{a-2}}{a}\le \dfrac{a-2+2}{2\sqrt{2}a}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

$\dfrac{\sqrt[3]{b-6}}{b}\le \dfrac{b-6+3+3}{3\sqrt[3]{9}b}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{9}}$

$\dfrac{\sqrt[4]{c-12}}{2}\le \dfrac{c-12+4+4+4}{8\sqrt{2}c}= \dfrac{1}{8\sqrt{2}}$

Do đó:

$S\le \dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{9}}+\dfrac{1}{8\sqrt{2}}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=4, b= 9, c=16$

[hoctrocuaZel]

3. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR: $ 4a^2+6b^2+3c^2\geq 12$

 

Câu 3/

Áp dụng Cauchy-Sw, được:

$A.(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3})\geq (a+b+c)^2=9\rightarrow A\geq 12$

Đẳng thức: $a=1;b=\frac{2}{3};c=\frac{4}{3}$

[Viet Hoang 99]

1.Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=1$. TÌm GTLN của biểu thức sau: $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

2. Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a\geq 2;b\geq 6;c\geq 12$

TÌm GTLN của biểu thức: $A=\frac{\sqrt{a-2}}{a}+\frac{\sqrt[3]{b-6}}{b}+\frac{\sqrt[4]{c-12}}{c}$

3. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR: $ 4a^2+6b^2+3c^2\geq 12$

4. Cho 3 số thực dương $a,b,c$. CMR: $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{q+b}\geq \frac{64c-a-b}{9}$

5. Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=10$ tìm GTLN của $A=a^2b^3c^5$

6. Cho 3 số thực dương thỏa mãn:$a+b+c=\frac{3}{4}$. TÌm GTLN của biểu thức: $P=\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}$

5)

$A=(15a)^2(10b)^3(6c)^5\le \left (\dfrac{30a+30b+30c}{10}  \right )^{10}$

6)

$\sqrt[3]{a+3b}\le \dfrac{a+3b+2}{3}$

[TonnyMon97]

Áp dụng BĐT Holder: $a+b+c\le \sqrt[3]{9(a^3+b^3+c^3)} \\\Rightarrow P\le \sqrt[3]{9.4(a+b+c)}=3$

Dấu bằng có khi $a=b=c=\frac{1}{4}$

Vậy$ Max P =3$

[lethanhson2703]

Áp dụng BĐT Holder: $a+b+c\le \sqrt[3]{9(a^3+b^3+c^3)} \\\Rightarrow P\le \sqrt[3]{9.4(a+b+c)}=3$

Dấu bằng có khi $a=b=c=\frac{1}{4}$

Vậy$ Max P =3$

bài mấy đêy bạn???

[Viet Hoang 99]

bài mấy đêy bạn???

 

 

Áp dụng BĐT Holder: $a+b+c\le \sqrt[3]{9(a^3+b^3+c^3)} \\\Rightarrow P\le \sqrt[3]{9.4(a+b+c)}=3$

Dấu bằng có khi $a=b=c=\frac{1}{4}$

Vậy$ Max P =3$

bài 6 đó!

[lethanhson2703]

tại em ko thêý lq ạ

[Viet Hoang 99]

 

6. Cho 3 số thực dương thỏa mãn:$a+b+c=\frac{3}{4}$. TÌm GTLN của biểu thức: $P=\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}$

 

Áp dụng BĐT Holder: $a+b+c\le \sqrt[3]{9(a^3+b^3+c^3)} \\\Rightarrow P\le \sqrt[3]{9.4(a+b+c)}=3$

Dấu bằng có khi $a=b=c=\frac{1}{4}$

Vậy$ Max P =3$

Áp dụng BĐT Holder: $x+y+z\le \sqrt[3]{9(x^3+y^3+z^3)} \\\Rightarrow P\le \sqrt[3]{9.4(a+b+c)}=3$

Dấu bằng có khi $a=b=c=\frac{1}{4}$

Vậy$ Max P =3$

[huyhoangfan]

 

5. Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=10$ tìm GTLN của $A=a^2b^3c^5$

 

$10=a+b+c=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{b}{3}+\frac{b}{3}+\frac{b}{3}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}\geq 10\sqrt[10]{\frac{a^{2}b^{3}c^{5}}{337500}}\Rightarrow 1\geq \sqrt[10]{\frac{a^{2}b^{3}c^{5}}{337500}} \Leftrightarrow a^{2}b^{3}c^{5}\leq 337500$

Dấu "=" $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=3 & & \\ c=5 & & \end{matrix}\right.$