Cho a,b,c dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\leq \frac{1}{2}$
$\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\leq \frac{1}{2}$
Bắt đầu bởi Dinh Xuan Hung, 14-10-2014 - 19:08
#1
Đã gửi 14-10-2014 - 19:08
Dinh Xuan Hung
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 1396 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
#2
Đã gửi 09-05-2021 - 11:15
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Ta có: $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{a}{a+b+1} \right )$
Ta cần chứng minh: $\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1$
hay $\sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức. ta có:
$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{\left ( b+1 \right )^{2}}{\left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}\geq \frac{\left ( a+b+c+3 \right )^{2}}{\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}$
Mà $\sum a^{2}=3$ nên ta có: $\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )= 3\left ( a+b+c \right )+\sum ab+\sum a^{2}+3= \frac{1}{2}\left ( a+b+c+3 \right )^{2}$
Vậy $\sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2(Q.E.D)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-05-2021 - 11:19
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
