Chủ đề này có 6 trả lời

[Juliel]

 

 

[shinichigl]

đề này là đề 2013-2014 bạn nhé, chứ tỉnh mình chưa thi quốc gia

[LuoiHocNhatLop]

Câu 6: 

$xf(y)-yf(x)=f(\frac{y}{x})$ (1)

Cho x=2;y=0 được f(0)=0 

Cho $x=y\Rightarrow f(1)=0$

Trong (1), chọn $y=1\Rightarrow xf(1)-f(x)=f(\frac{1}{x})\Rightarrow f(x)=-f(\frac{1}{x})$ (2)

chọn $y=\frac{1}{x}\Rightarrow xf(\frac{1}{x})-\frac{1}{x}f(x)=f(\frac{1}{x^2})$

$\Rightarrow -f(x).(x+\frac{1}{x})=-f(x^2)$   (do (2))
$\Rightarrow f(x^2)=f(x).(x+\frac{1}{x})$ (3)

Mặt khác, từ (1) ta có:

$\Rightarrow x^2.f(y).(y+\frac{1}{y})-y^2.f(x).(x+\frac{1}{x})=[xf(y)-yf(x)](\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

$\Rightarrow f(y).[x^2(y+\frac{1}{y})-x.(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})]=f(x)[y^2(x+\frac{1}{x})-y(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})]$

$\Rightarrow yf(y)(x^2 -1)=xf(x)(y^2 -1)$

$\Rightarrow \frac{f(x).x}{x^2-1}=\frac{f(y).y}{y^2 -1} (x,y\neq -1;1)$

$\Rightarrow \frac{f(x).x}{x^2-1}=c (x\neq 1;-1)$

Suy ra $ f(x)=\frac{c(x^2-1)}{x}$ nếu $x\neq 0$

và $f(x)=0$ nếu $x=0$
Thử lại thoả mãn.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuoiHocNhatLop: 18-10-2014 - 11:43

[shinichigl]

Câu 4:

Rõ ràng $n>3$

Ta xét tập $A=\left \{ b_{1},b_{2},...,b_{n} \right \}$

 với $b_{i}=\frac{x_{i}}{2^{k}},\forall i\in \left [ 1,n \right ]$

 $k$ là số thõa mãn $x_{i}\vdots 2^{k},\forall i\in \left [ 1,n \right ]$ và $\exists j\in \left [ 1,n \right ]$ sao cho $x_{j}$ không chia hết $2^{k+1}$

Từ đó, ta có tập $A$ cũng thõa mãn tính chất của tập $X$

Theo giả thiết, khi ta bỏ phần tử $b_{n}$ ra khỏi tập $A$ thì tập $A^{'}=\left \{ b_{1},b_{2},...,b_{n-1} \right \}$ có thể phân hoạch thành hai tập con khác rỗng sao cho tổng tất cả các phần tử trong mỗi tập con đó bằng nhau.

Suy ra tổng $b_{1}+b_{2}+...+b_{n-1}$ là một số chẵn

Tương tự ta có tổng $b_{1}+b_{2}+...+b_{n-2}+b_{n};$

                                                 ......

                                 $b_{2}+b_{3}+...+b_{n}$

là một số chẵn

Suy ra $b_{1},b_{2},...,b_{n}$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Mà từ cách xây dựng tập $A$ nên ta suy ra trong tập $A$ có ít nhất một số là số lẻ

Suy ra $b_{1},b_{2},...,b_{n}$ cùng lẻ

Nếu $n$ là số chẵn thì khi bỏ một phần tử ra khỏi tập $A$ thì tập còn lại sẽ có một số lẻ số phần tử, từ đó khi phân hoạch thành hai tập thì tổng các phần tử của mỗi tập sẽ có tính chẵn lẻ khác nhau nên không thể bằng nhau.

Suy ra $n\neq 4,n\neq 6$

Xét $n=5$, khi đó tập $A=\left \{ b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5} \right \}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $b_{1}<b_{2}<b_{3}<b_{4}<b_{5}$

Khi bỏ $b_{5}$ khỏi tập $A$ thì $\begin{bmatrix} b_{2}+b_{3}=b_{1}+b_{4}& \\ b_{1}+b_{2}+b_{3}=b_{4}& \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} b_{2}+b_{3}=b_{1}+b_{4}& \\ b_{2}+b_{3}=b_{4}-b_{1}& \end{bmatrix}$

Khi bỏ $b_{4}$ ra khỏi tập $A$ thì $\begin{bmatrix} b_{2}+b_{3}=b_{1}+b_{5}& \\ b_{1}+b_{2}+b_{3}=b_{5}& \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} b_{2}+b_{3}=b_{1}+b_{5}& \\ b_{2}+b_{3}=b_{5}-b_{1}& \end{bmatrix}$

Ta thấy ngay vô lí

Suy ra $n\neq 5$

Suy ra $n\geq 7$

Ta xét tập $B=\left \{ 1;3;5;7;9;11;13 \right \}$

Khi bỏ $1$: $3+5+7+9=11+13$

Khi bỏ $3$: $5+7+11=1+9+13$

Khi bỏ $5$: $1+3+7+11=9+13$

Khi bỏ $7$: $3+5+13=1+9+11$

Khi bỏ $9$: $1+3+5+11=7+13$

Khi bỏ $11$: $1+5+13=3+7+9$

Khi bỏ $13$: $2+3+5+9=11+7+1$

Từ đó, ta thấy tập $B$ thõa mãn yêu cầu đề bài

Vậy giá trị nhỏ nhất của $n$ là $7$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 19-10-2014 - 10:44

[shinichigl]

Câu 5:

Ta sẽ chứng minh $\mathbb{N}^{*}\subset A$

Điều này tương đương với việc chứng minh $\forall x\in \mathbb{N}^{*}$ thì $x\in A$

Theo giả thiết $\left \{ 1;2;3 \right \}\in A$

Do $2;3\in A$ nên $1+2.3=7\in A$

Do $2;7\in A$ nên $1+2.7=15\in A$ $\Rightarrow 5\in A$

Do $5;3\in A$ nên $1+5.3=16\in A$ $\Rightarrow 4\in A$

Do $5;7\in A$ nên $1+5.7=36\in A$ $\Rightarrow 6\in A$

Từ đó ta có $\left \{ 1;2;3;4;5;6;7 \right \}\in A$

Giả sử $k\in A$

Trường hợp 1: $k$ chẵn

Khi đó ta có $\frac{k}{2}\in \mathbb{N}^{*}$

Mà $\frac{k}{2}<k$ nên $\frac{k}{2}\in A$

Suy ra $1+2.\frac{k}{2}=k+1\in A$

Trường hợp 2: $k$ lẻ

Khi đó ta có $\frac{k+1}{2}\in \mathbb{N}^{*}$

Mà $\frac{k+1}{2}<k$ nên $\frac{k+1}{2}\in A$

Suy ra $1+2.\frac{k+1}{2}=k+2\in A$

Suy ra $1+\left ( k+2 \right )k=\left ( k+1 \right )^{2}\in A$ $\Rightarrow k+1\in A$

Từ hai trường hợp trên ta có $k+1\in A$

Vậy theo nguyên lí quy nạp ta chứng minh được $\forall x\in \mathbb{N}^{*}$ thì $x\in A$

Từ đó ta có $\mathbb{N}^{*}\subset A$

Mà theo giả thiết thì ta có $A\subset \mathbb{N}^{*}$

Suy ra $A=\mathbb{N}^{*}$

Vậy $2013^{2014}\in A$

 

@supermember: giỏi quá (clap)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 20-10-2014 - 14:37

[dinhnguyenhoangkim]

Có ai làm bài hình chưa? Chỉ cho mình với

[hoangtubatu955]

Gọi I là trung điểm NM, T là giao điểm của LM với (O). IT cắt (O) tại H. Ta sẽ cm KLHM nội tiếp. Có IM^2=IN^2=IT.IH nên góc LHN=LTN=TMN+TNM=THM+THN=MHN, vậy LKN+LHM=180°. Nên KLHM nội tiếp hay H trùng P. Từ đây do IQ^2=IM^2=IT.IP ta dễ dàng cm PQIM nội tiếp và I là điểm giữa cung MQ. Hay có đpcm.